前两天做了算法课设,老师给了这个题,今天把写的课设整理一下(下面有从别的博客弄过来的图片,若博主看到了,可以联系删除,hhhh)
问题描述
欧氏旅行售货员问题是对给定的平面上 n 个点(这n个点的x坐标都不相同)确定一条连接这 n 个点的长度最短的哈密 顿回路。由于欧氏距离满足三角不等式,所以欧氏旅行售货员问题是一个特殊的具有三角不 等式性质的旅行售货员问题。它仍是一个 NP 完全问题。最短双调 TSP 回路是欧氏旅行售货 员问题的特殊情况。平面上 n 个点的双调 TSP 回路是从最左点开始,严格地由左至右直到最右点,然后严格地由右至左直至最左点,且连接每一个点恰好一次的一条闭合回路。
给定平面上 n 个点,编程计算这 n 个点的最短双调 TSP 回路。
数据输入:
第 1 行有 1 个正整数 n,表示给定的平面上的点数。接下来的 n 行中,每行 2 个实数,分别表示点的 x 坐标和 y 坐标
数据输入:
0 6
1 0
2 3
5 4
6 1
8 2
7 5
数据输出:
25.58
问题分析
这种旅程是从最左点开始,严格地从左到右直至最右点,然后严格地从右到左直至出发点,并且需要经过所有的点,如下图
注解:
(a)为最短闭合路线,这个路线不是双调的
(b)为最短双调闭合路线
首先我们
定义dist(i,j) :表示结点i到结点j的直线距离(即i,j直接相连)
定义b[i][j] : 表示从i连到1(最左点),再从1连到j的距离(i<j-1,且并没有相连)在求路径b[i][j]时,点i一定在i->1的路径中,点j一定在1->j的路径上,现在考虑与点j直接相连点的位置,分以下三种情况
①i<j-1
此时点j-1在点i的右边,说明j-1一定在1->j的路径上,而不在i->1的路径上,由于j-1是1->j路径上除 j 外最靠右的点,所以与 j 直接相连的点是 j-1,如下图所示
②i=j-1
此时点j-1位于i->1的路径上,而此时与点j直接相连的可以是1~j-2中的任意一点k,如下图所示
③i=j
在这种情况下,i->j是一条闭合路径。这种情况只会发生在i=j=n。此时点j−1即为点n−1,而点n-1可以在路径1->n上,也可以在n->1上,总之无论是哪条路径点,n-1都直接与点n相连,因为点n-1是除n外最右边的点,如下图所示
根据上图,很容易写出递推方程式:
b[i][j] = b[i][j-1]+dist(j-1,j); (i<j-1)
b[i][j] = min( b[k][j-1]+dist(k,j) ); (i=j-1)
b[i][j] = b[n-1][n] + dist(n-1,n); (i=j=n)
上代码
运行结果