带环链表问题剖析

一个链表的尾节点的next指针反而指向其他节点(包括自己)，就构成了一个带环链表。对带环链表问题的求解，往往涉及环的入口点和环的周长。本文着重介绍单向带环链表中求环的周长和环的入口的若干解法。

判断链表是否带环

假设一个链表有环，则该链表一定包含一段闭合回路，遍历链表的指针进入该回路后就会陷入不断循环。已知的是，在一个闭合回路中，若两个点的运动相对速度合适，则两个点一定会在回路中的某个位置相遇(重合)，所以可以利用追及运动证明环的存在。

为了分析方便，这里将带环链表进行抽象，整个链表包括非环部分和环。为了实现追及运动，分别定义快(fast)、慢(slow)指针遍历链表，fast指针一次走两步，slow指针一次走一步，可见当slow指针位于非环部分的中间时，fast开始进环；当slow指针开始进环时，fast指针已经绕环走了数圈，此时fast指针开始在环内追及slow指针。

在这种情形下，两指针一定会在环内的某一点(meet)相遇，下面给出逻辑证明。

证明一：

slow指针一次走一步，fast指针一次走两步，两指针一定会在环内相遇

假设slow开始进环时，fast与slow之间的距离为N，因为可能存在slow刚开始入环即与fast相遇的情况，固有

$0 \le N \le C - 1$

且fast与slow的相对速度为 1，即fast追及slow，两者之间的距离递减1，所以N一定会在数次运动后减为0，此时两指针相遇。

还有没有其他可能的情况，比如slow一次走1步，fast一次走3步，两者一定会相遇吗？

问题一：

slow一次走一步，fast一次走三步，两指针一定会相遇吗？

此时slow与fast的相对速度为2，假设slow开始进环时fast与slow的距离为N，在fast追及slow的过程中，二者之间的距离递减 2。通过证明一可知，N减至 0，二者相遇，对于相对速度为 2 的情形，N 是否能减至 0 需要考虑N的奇偶性。

• N为偶数 N递减 2，此时N一定会递减至0，两指针相遇
• N为奇数 N的变化情况大致为N, N - 2, N - 4, . . ., 3, 1, -1，当N为-1时，意味着两指针错过，fast领先slow一步，此时进入新一轮追及，且N变为 C - 1，其中C为环的周长。可见，在新一轮追及中，N能否递减至 0 取决于 C：

• C - 1为偶数 此时同N为偶数的情况，这一轮追及两指针一定会相遇
• C - 1为奇数 此时同N为奇数的情况，快慢指针不断错过、进入新的追及，处于无限递归状态，两指针一定不会相遇。

可见，slow 一次走一步，fast 一次走三步，两指针不一定会相遇。

问题二：

slow一次走一步，fast一次走四步，两指针一定会相遇吗？

此时slow与fast的相对速度为 3，为了证明 N 能否递减至 0，需要分三种情况

• N % 3 == 0
• N % 3 == 1
• N % 3 == 2

每个情况的分析与证明一和问题一相似，可见，这种情形两指针不一定相遇。

实际上，只有快慢指针的相对速度为 1 时，才能保证两指针一定会相遇。

求环的周长

在进行上文的操作使快、慢指针相遇后，其中一个指针从相遇点出发绕环一周，直到再次与另一指针相遇，经过的路径即为环的周长。

求环的入口点

解法一：

设带环链表的非环部分长为L，快慢指针的相遇点距环的入口点长为X，快慢指针相遇前快指针已经绕环走了k圈，且

$\left\{ \begin{array}{**lr**} L \geq 0\\ 0 \leq X \leq C - 1\\ k \geq 0 \end{array} \right.$

则相遇时有：

$\left\{ \begin{array}{**lr**} S_{slow} = L + X\\ S_{fast} = L + kC + X\\ 2S_{slow} = S_{fast} \end{array} \right.$

可得： L = k*C - X，即L = (k - 1)*C  + C - X

得出结论：一个指针从相遇点出发，另一个指针从head位置出发，两指针一定会在环的入口点相遇。根据这个结论，即可找到环的入口点。

struct ListNode *detectCycle(struct ListNode *head)
{
    struct ListNode* fast = head;
    struct ListNode* slow = head;
    while(fast && fast->next)
    {
        fast = fast->next->next;
        slow = slow->next;
        if(fast == slow)
        {
            struct ListNode* meet = slow;
            struct ListNode* cur = head;
            while(cur != meet)
            {
                cur = cur->next;
                meet = meet->next;
            }
            return cur;
        }
    }
    return NULL;
}

在观察上述等式时，要清醒地注意两指针是在环内循环运动的，指针之间的相对距离不会叠加。

解法二：

在找到快慢指针的相遇点meet后，可以先记录meet的下一个位置，再将链表在meet位置断开，可以观察到，此时环形链表变成了两个相交链表，相交链表的交点即为要求的环的入口点。

此时问题转化为了找相交链表的交点的问题，用双指针求解即可。这里附上求相交链表求交点的代码，不再进行详细的证明：

struct ListNode *getIntersectionNode(struct ListNode *headA, struct ListNode *headB)
{
    if(!headA || !headB)//其中一个为空，一定不相交 {
        return NULL;
    }
    struct ListNode* pA = headA;
    struct ListNode* pB = headB;

    while(pA != pB)//pA和pB都为空或在某节点相遇
    {
        pA = (pA == NULL ? headB : pA->next);
        pB = (pB == NULL ? headA : pB->next);
    }
    return pA;
}