一、扩展欧几里得算法：
找出一对整数（x，y），使得ax+by=gcd（a，b）
gcd（a，b）=gcd（b，a%b） 欧几里得定理
∴a x1 + b y1 = b x2 + （a%b）y2
∴a x1 + b y1 = b x2 + [a-（a/b）*b] y2 在整除意义下，a%b=a-（a/b）*b
∴a x1 + b y1 = b x2 + a y2 - b*（a/b）y2 右边展开
∴a x1 + b y1 = a y2 + b [x2 - （a/b）y2] 右边合并同类项
根据恒等定理得，x1 = y2 ，y1 = x2 - （a/b）y2
递归求解
边界条件：gcd（a，0）= 1 * a - 0 * 0 = a
void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(!b) {d=a;x=1;y=0;}
else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
扩展欧几里得算法只是求出其中的一组解，如何得到其他解？
结论1：
设a，b，c 为任意整数。若 方程a x + b y = c 的一组整数解为（x0，y0）,
（前提：方程有解）
则它的任意整数解都可以写成（x0 + k b’，y0 - k a’）。
其中a’=a / gcd（a，b） b’=b / gcd（a，b），k取任意整数
证明：
由扩展欧几里得可以求出a x + b y = gcd （a，b）的一组解（x1，y1），
任取另外一组解 （x2，y2）
∴ a x1 + b y1 = a x2 + b y2
∴ a （x1 - x2） = b（y2 - y1）
令 a’= a / gcd（a，b） b’=b / gcd（a，b），那么 （a’，b’）= 1
∴ a’（x1 - x2） = b’ （y2 - y1）
∴ b’能整除（x1 - x2）
令 （x1 - x2） = k b’
则 （y2 - y1）= k a’
∴ x2 = x1 - k b’ y2 = k a’ + y1
推倒过程并没有用到 a x + b y 的 右边是什么 ，所以结论1 成立
结论1的前提是方程有解，那么什么情况下方程才有解？
对于方程 a x + b y = c
由上面已经推导出了 若 c=gcd（a，b），那么方程一定有解 （x，y）
若c！=gcd（a，b）
①、c是gcd（a，b）的倍数，令 c=gcd（a，b）*d
那么 （ a x + b y）/d = c /d = a * x / d + b * y / d = gcd （a，b） 方程有解（x’，y’）
x’ = x / d，y’ = y / d ∴x’=x c / g y’ = y c / g
②、c不是gcd（a，b）的倍数，那么无解
所以，结论2：
设a，b，c 为任意整数，g = gcd （a，b），方程 a x + b y = g 的一组解是 （x0，y0），
则当 c 是 g 的倍数时，ax + by = c 的一组解是 （x0 c / g ，y0 c / g）
二、同余方程
定理1 若gcd（a，b）=d，则一定能找出一组（x，y），满足ax+by=d
证明：还原欧几里得算法的过程
a = b*q1 + r1
b= r1*q2+ r2
r1= r2*q3+r3
……
r1=q-b*q1
r2=b-r1*q2
r3=r1-r2*q3
……
所以d一定能写成ax+by的形式
定理2 若gcd（a，b）=1，则方程ax≡c（mod b） 在[0,b-1]上有唯一解
定理3 若gcd（a，b）=d，则方程ax≡c（mod b） 在[0,b/d-1]上有唯一解
所以，求解同余方程：
ax≡c （mod b）
方程转化为ax-by=c
先用上面讲的结论二判断是否有解
再用扩展欧几里得求出其中一组解
最后用结论二求出其他的解
