两个不含 0 的整数，乘积竟是 10,000,000！

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JavaPub 2025-08-05 10:43:56 博主文章分类：一道算法题 ©著作权

文章标签 算法 python 数据结构数学题质因数分解 文章分类 Java 后端开发

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在数学的世界里，总是充满了惊喜和挑战。今天，我们要探索的是一个看似简单，实则蕴含着深刻数学原理的问题：两个不含数字0的整数，它们的乘积竟然等于 10,000,000 。这听起来似乎不太可能，但数学的魅力就在于它总能以意想不到的方式展现其美丽。

问题的由来

这个问题源自于一个数学谜题，它要求我们找到两个特殊的整数。这两个整数不仅需要满足乘积为 10,000,000 的条件，而且它们的每一位数字都不能是0。这无疑增加了问题的难度，因为我们需要在有限的数字中寻找可能的组合。

数学的力量

数学的力量在于它能够将看似不可能的事情变为可能。在这个问题中，我们首先需要将 10,000,000 分解为其质因数。10,000,000 是一个完全由 2 和 5 的幂次方构成的数，即：

10,000,000 = 10^7 = (2 * 5)^7 = 2^7 * 5^7

质因数分解法

验证结果

在找到可能的解决方案后，我们需要验证它们是否正确。通过简单的乘法运算，我们可以确认 128 乘以 78125 确实等于 10,000,000。这验证了我们的解决方案是正确的。

第一个整数：包含所有的 2 的因子，也就是 (2^7)
第二个整数：包含所有的 5 的因子，也就是 (5^7)

这样，我们得到两个整数：

2^7 = 128
5^7 = 78125

def is_valid_number(number):
    """
    检查一个整数是否包含数字0。
    :param number: 要检查的整数。
    :return: 如果整数不包含0，则返回True，否则返回False。
    """
    return '0' not in str(number)

def prime_factors(n):
    """
    对一个整数进行质因数分解。
    :param n: 要分解的整数。
    :return: 一个字典，键是质因数，值是对应的指数。
    """
    factors = {}
    # 2的因子
    while n % 2 == 0:
        factors[2] = factors.get(2, 0) + 1
        n //= 2
    # 奇数因子
    for i in range(3, int(n**0.5) + 1, 2):
        while n % i == 0:
            factors[i] = factors.get(i, 0) + 1
            n //= i
    # 如果n是一个质数
    if n > 2:
        factors[n] = factors.get(n, 0) + 1
    return factors

def find_multipliers(target_product):
    """
    使用质因数分解法找到两个不包含数字0的整数，它们的乘积等于目标乘积。
    :param target_product: 目标乘积。
    :return: 两个整数的元组，如果找不到则返回None。
    """
    factors = prime_factors(target_product)
    num1, num2 = 1, 1
    for factor, power in factors.items():
        # 尝试分配质因数以避免产生数字0
        if factor == 2 and power >= 4:  # 2的四次方是16，会产生数字0
            # 将2的因子分配给两个数，避免产生0
            num1 *= factor ** (power // 2)
            num2 *= factor ** (power // 2)
            if power % 2 == 1:
                num1 *= factor
        elif factor == 5 and power >= 3:  # 5的三次方是125，会产生数字0
            # 将5的因子分配给两个数，避免产生0
            num1 *= factor ** (power // 2)
            num2 *= factor ** (power // 2)
            if power % 2 == 1:
                num1 *= factor
        else:
            # 直接分配给其中一个数
            num1 *= factor ** power

    # 检查结果是否有效
    if is_valid_number(num1) and is_valid_number(num2):
        return num1, num2
    return None

def main():
    """
    主函数，设置目标乘积并调用函数寻找乘数，然后输出结果。
    """
    target_product = 10000000  # 目标乘积
    multipliers = find_multipliers(target_product)  # 寻找乘数

    if multipliers:
        print(f"找到了两个整数：{multipliers[0]} 和 {multipliers[1]}，它们的乘积是 {target_product}。")
    else:
        print(f"没有找到两个不包含数字0的整数，它们的乘积是 {target_product}。")

if __name__ == "__main__":
    main()