2022高考全国卷乙卷|三角函数题为什么让学生感觉到难，到底难在什么地方？最起码有三角运算；三角变换的方向选择；变量集中策略的使用；量的代换的灵活性；
前言
2022高考全国卷|三角函数题为什么让学生感觉到难，到底难在什么地方？最起码有三角运算；三角变换的方向选择；变量集中策略的使用；量的代换的灵活性；
真题剖析
【2022年高考理科数学全国卷乙卷第17题】记 \(\triangle ABC\) 的内角 \(A\)， \(B\)， \(C\) 的对边分别为 \(a\)， \(b\)， \(c\), 已知 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\).
(1). 证明: \(2a^{2}=b^{2}+c^{2}\)；
证法一： 由于 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，此时既可以考虑将 \(\sin(A-B)\) 和 \(\sin(C-A)\)，可以转化为
\(\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A\)，
由正弦定理可得 \(ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C\)，即 \(ac\cos B=2bc\cos A-ab\cos C\)，
由余弦定理可得 \(ac\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=2bc\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}-ab\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)，
即证得 \(2a^{2}=b^{2}+c^{2}\)。
证法二： 由于 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，也可以做替换 \(\sin C=\sin(A+B)\)， \(\sin B=\sin(C+A)\)，替换后由于呈现出对称的特点，我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验，请参阅三角变换的方向总结，
则有 \(\sin(A+B)\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin(C+A)\sin(C-A)\).
打开，得到 \((\sin A\cos B+\cos A\sin B)(\sin A\cos B-\cos A\sin B)\)
\(=\)\((\sin C\cos A+\cos C\sin A)(\sin C\cos A-\cos C\sin A)\)，
整理得到，\(\sin^2A\cos^2B-\cos^2A\sin^2B=\sin^2C\cos^2A-\cos^2C\sin^2A\)，
移项整理，\(\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)=\cos^2A(\sin^2B+\sin^2C)\)，
即 \(\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)-(1-\sin^2A)(\sin^2B+\sin^2C)=0\)，
即 \(\sin^2A(\cos^2B+\sin^2B+\cos^2C+\sin^2C)-(\sin^2B+\sin^2C)=0\)
即 \(2\sin^2A=\sin^2B+\sin^2C\)，角化边得到，
\(2a^2=b^2+c^2\)，证毕。
(2). 若 \(a=5\)， \(\cos A=\dfrac{25}{31}\)， 求 \(\triangle ABC\)
解： 由于\(a=5\)， \(\cos A=\dfrac{25}{31}\)由已知条件我们就可以针对 \(a\) 边使用余弦定理，这样只需要求解出 \(b+c\) 的值即可；又由于 \(b^2\)\(+\)\(c^2\)\(=\)\((b+c)^2\)\(-\)\(2bc\)，故需要首先计算 \(2bc\)，这样由余弦定理，
得到，\(a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos A\)，即 \(2bc\cdot\cos A=b^2+c^2-a^2\)，
即 \(2bc\cdot\dfrac{25}{31}=2a^2-a^2=a^2=25\)，即 \(2bc=31\)，
又由于 \(2a^2=b^2+c^2=(b+c)^2-2bc\)，即 \((b+c)^2=2a^2+2bc=50+31=81\)，
故 \(b+c=9\)，则 \(\triangle ABC\) 的周长 \(l_{\triangle ABC}=5+9=14\)。
【2022年高考文科数学全国卷乙卷第17题】记 \(\triangle ABC\) 的内角 \(A\)， \(B\)， \(C\) 的对边分别为 \(a\)， \(b\)， \(c\), 已知 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\).
(1). 若 \(A=2B\)，求 \(C\)；
解：由于\(A=2B\)，则可知 \(C=\pi-3B\)此处结合内角和定理，应该想到 \(C\) 也能用 \(B\) 来表达，这样就实现了变量集中，便于后续的计算。，
又由题目 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)，将 \(A=2B\)代入左端，
得到 \(\sin C\sin(2B-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)，
即 \(\sin C\sin B\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)，约去 \(\sin B\)，
得到 \(\sin C=\sin(C-A)\)，将 \(A=2B\) 和 \(C=\pi-3B\)
得到 \(\sin C=\sin(\pi-3B-A)=\sin(\pi-5B)=\sin 5B\)，
解三角方程 \(\sin C=\sin 5B\)，得到 \(C=5B\)，(舍去 \(C+5B=\pi\))，
由内角和定理可知，\(2B+B+5B=\pi\)，解得 \(B=\dfrac{\pi}{8}\)，
故 \(C=5B=\dfrac{5\pi}{8}\)
〔解后反思〕：本题目若使用余弦定理的方式求解 \(C\)
(2). 证明: \(2a^{2}=b^{2}+c^{2}\)；
证法一： 由于 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，此时既可以考虑将 \(\sin(A-B)\) 和 \(\sin(C-A)\)，可以转化为
\(\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A\)，
由正弦定理可得 \(ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C\)，即 \(ac\cos B=2bc\cos A-ab\cos C\)，
由余弦定理可得 \(ac\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=2bc\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}-ab\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)，
即证得 \(2a^{2}=b^{2}+c^{2}\)。
证法二： 由于 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，也可以做替换 \(\sin C=\sin(A+B)\)， \(\sin B=\sin(C+A)\)，替换后由于呈现出对称的特点，我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验，请参阅三角变换的方向总结，
则有 \(\sin(A+B)\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin(C+A)\sin(C-A)\).
打开，得到 \((\sin A\cos B+\cos A\sin B)(\sin A\cos B-\cos A\sin B)\)
\(=\)\((\sin C\cos A+\cos C\sin A)(\sin C\cos A-\cos C\sin A)\)，
整理得到，\(\sin^2A\cos^2B-\cos^2A\sin^2B=\sin^2C\cos^2A-\cos^2C\sin^2A\)，
移项整理，\(\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)=\cos^2A(\sin^2B+\sin^2C)\)，
即 \(\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)-(1-\sin^2A)(\sin^2B+\sin^2C)=0\)，
即 \(\sin^2A(\cos^2B+\sin^2B+\cos^2C+\sin^2C)-(\sin^2B+\sin^2C)=0\)
即 \(2\sin^2A=\sin^2B+\sin^2C\)，角化边得到，
\(2a^2=b^2+c^2\)，证毕。
