新高考的新增内容，百分位数的估计
前情概要
在以前的高中数学统计章节中我们只涉及学习中位数，现在的新高考中添加了百分位数 [可以将其看成中位数概念的拓展] ，这是个新概念，为便于学习理解，加以整理。
基本内容
引入缘由：假设通过简单随机抽样，获得了 \(100\) 户居民用户的月均用水量数据（单位：\(t\)），鉴于篇幅，部分数据省略。
\(9.0\) \(\quad\) \(13.6\) \(\quad\) \(14.9\) \(\quad\) \(5.9\) \(\quad\) \(4.0\) \(\quad\) \(7.1\) \(\quad\) \(6.4\) \(\quad\) \(\cdots\) \(\quad\) \(6.2\) \(\quad\) \(9.1\) \(\quad\) \(21.6\)
更多的时候，我们不仅仅关注中位数，甚至还关注 \(80\%\) 位置上的数据[比如，根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数 \(a\)，使全市居民用户月均用水量中不超过 \(a\) 的占 \(80\%\)，大于 \(a\) 的占 \(20 \%\) 。下面我们通过样本数据对 \(a\) 的值进行估计]，这就引出了百分位数的概念。具体以上述为例来说，把 \(100\) 个样本数据按从小到大排序， 得到第 \(80\) 个和第 \(81\) 个数据分别为 \(13.6\) 和 \(13.8\)， 可以发现，区间 \([13.6\)\(,\)\(13.8)\) 内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分 . 一般地， 我们取这两个数的平均数 \(\cfrac{13.6+13.8}{2}\)\(=\)\(13.7\)， 并称此数为这组数据的第 \(80\) 百分位数（percentile)，或 \(80\%\)
抽象概括：一般地，一组数据的第 \(p\) 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 \(p \%\) 的数据小于或等于这个值，且至少有 \((100-p) \%\) 的数据大于或等于这个值 . 可以通过下面的步骤计算一组 \(n\) 个数据的第 \(p\)
第 1 步，按从小到大排列原始数据；
第 2 步，计算 \(i=n \times p \%\)；
第 3 步，若 \(i\) 不是整数，而大于 \(i\) 的比邻整数[相邻而居的整数]为 \(j\) ，则第 \(p\) 百分位数为第 \(j\) 项数据；若 \(i\) 是整数，则第 \(p\) 百分位数为第 \(i\) 项与第 \((i+1)\)
【人教 2019A 版 \(P_{203}\) 例 2】 根据 9.1.2 节问题 3 中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第 \(25\)，\(50\)，\(75\)
解：把 \(27\)
\[\begin{array}{lllllllll}148.0 & 149.0 & 154.0 & 154.0 & 155.0 & 155.0 & 155.5 & 157.0 & 157.0 \\ 158.0 & 158.0 & 159.0 & 161.0 & 161.0 & 162.0 & 162.5 & 162.5 & 163.0 \\ 163.0 & 164.0 & 164.0 & 164.0 & 165.0 & 170.0 & 171.0 & 172.0 & 172.0 \end{array}\]
由于 \(25\%\times 27\)\(=\)\(6.75\)[比\(6.75\)、\(13.5\)、\(20.25\) 大的比邻整数分别为 \(7\)、 \(14\)、 \(21\)]，\(50\%\times\)\(27\)\(=\)\(13.5\)，\(75\%\times\)\(27\)\(=\)\(20.25\)，可知样本数据的第 \(25\)，\(50\)，\(75\) 百分位数为第 \(7\)，\(14\)，\(21\) 项数据，分别为 \(155.5\)，\(161\)，\(164\)，据此可以估计树人中学高一年级女生的第 \(25\)，\(50\)，\(75\) 百分位数分别约为 \(155.5\)，\(161\) 和 \(164\)
引申：如果数据个数为 \(30\) 个，则第 \(30\) 百分位数 [ 或 \(30\%\) 分位数 ] 应该是从小到大排列的第 \(9\) 位的数据[具体计算： \(30\)\(\times30\%\)\(=\)\(9\)
我们在初中学过的中位数，相当于是第 \(50\) 百分位数 . 在实际应用中， 除了中位数外， 常用的分位数还有第 \(25\) 百分位数， 第 \(75\) 百分位数 . 这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份， 因此称为四分位数 . 其中第 \(25\) 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等， 第 \(75\) 百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等 . 另外， 像第 \(1\) 百分位数，第 \(5\) 百分位数，第 \(95\) 百分位数和第 \(99\)
对于任意一组数据,满足第 \(p\) 百分位数定义的值可能不唯一。计算百分位数的方法有多种, 我们取一种计算方法比较简单的. 注意不同的读法：第 \(25\) 百分位数 或 \(25\%\)
典例剖析
- 注意本例题的特点是所有原始数据经过加工处理，已经有了数据信息的损失；
【2024高一数学训练题】某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了 "创建文明城市" 知识竟赛，从所有答卷中随机抽取 \(100\) 份作为样本，将 \(100\) 个样本数据按 \([30,40)\)，\([40,50)\)，\([50,60)\)，\([60,70)\)，\([70,80)\)， \([80,90]\) 分成 \(6\)
(1). 求图中 \(a\)
分析：简单题，由频率分布直方图可得 \(10(0.005+0.010+0.010+a+0.032+0.023)=1\)，所以 \(a=0.020\)，注意和原题目中的近似度要求保持一致，小数点后保留三位有效数字 .
(2). 请通过频率分布直方图估计这 \(100\) 份样本数据的众数、\(65\%\)
分析：本题目在理解和数据处理上有一定的难度，当我们将一组原始数据制作成频率分布直方图后，原始数据的部分信息会有所损失 .比如 \([30,40)\)之间的5个原始数据为\(31\)、\(38\)、\(33\)、\(34\)、\(33\)，如果填充到直方图中，此时从直方图出发来看数据，只能知道这5个数据大于等于 \(30\)，小于 \(40\)，并不能知道数据的具体值为多少，如果此时要我们挑选一个数据来代表这组数据，那么选左端点的值 \(30\) 未免太小，选右端点的值 \(40\) 未免太大，比较理想和中庸的做法是取两个端点数据的平均数来做代表，因此这类题目往往有这样的注释说明（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，即使题目中没有说明，我们也应该这样做。样本特征数字的计算方法的详细解释
解析：\(100\) 份样本数据的众数为 \(\cfrac{70+80}{2}=75\)，
\(100\) 份样本数据的 \(65\%\) 分位数求解思路一：方程组法，首先预判 \(65\%\)
由于前四个小矩形的面积之和 \(0.005\times10\)\(+\)\(0.01\times10\)\(+\)\(0.01\times10\)\(+\)\(0.02\times10\)\(=\)\(0.45\)\(<\)\(0.65\)\(=\)\(65\%\)，
而前五个小矩形的面积之和\(0.005\times10\)\(+\)\(0.01\times10\)\(+\)\(0.01\times10\)\(+\)\(0.02\times10\)\(+\)\(0.032\times10\)\(=\)\(0.77\)\(>\)\(0.65\)\(=\)\(65\%\)，
故 \(65\%\) 分位数所在的区间为第五个区间 \([70,80)\) ，设 \(65\%\) 分位数为 \(x\)，
则 \(0.45+(x-70)\times 0.032=0.65\)，解得 \(x=76.25\)，即 \(65\%\) 分位数 为 \(76.25\)
\(65\%\) 分位数求解思路二：比例法，同上先预判 \(65\%\) 分位数所在的大致区间为 \([70,80)\) ，再计算累积频率可知，区间分隔线 \(70\) 和 \(80\) 对应的累积频率分别为 \(0.45\) 和 \(0.77\)，设累积频率 \(0.65\) 在区间 \([70,80)\) 内对应的宽度为 \(x\)，则由对应的累积频率[即面积]差之比等于长度之比可知，\(\cfrac{x}{10}\)\(=\)\(\cfrac{0.65-0.45}{0.77-0.45}\)，即 \(x\)\(=\)\(\cfrac{0.65-0.45}{0.77-0.45}\)\(\times\)\(10\)，
则 \(70+\cfrac{0.65-0.45}{0.77-0.45}\times 10=76.25\)，故[换个说法]第 65 百分位数 为 \(76.25\)
\(100\)
\(\bar{x}\)\(=\)\((35 \times 0.005\)\(+\)\(45 \times 0.010\)\(+\)\(55 \times 0.010\)\(+\)\(65 \times 0.020\)\(+\)\(75 \times 0.032\)\(+\)\(85 \times 0.023\)\()\times 10\)
\(=\)\(68.3\)
(3). 该市决定表彰知识竞赛成绩排名前 \(30\%\) 的市民，某市民知识竟赛的成绩是 \(78\)，请估计该市民能否得到表彰.
解析：成绩低于 \(70\) 分的频率为 \(0.45\)，成绩低于 \(80\) 分的频率为 \(0.77\)，则被表彰的最低成绩为 \(70\%\) 分位数[\(1-30\%\)\(=\)\(70\%\)]：
又由于 \(70\%\) 分位数为： \(70+\cfrac{0.70-0.45}{0.77-0.45} \times 10=77.8125\) ，而被表彰的最低成绩 \(77.8125<78\)，
所以估计该市民能得到表彰 .
