神经网络 广义线性 神经网络是线性模型吗

首先，“神经网络” 这个词来源于脑科学，但其实目前计算机中的神经网络跟脑科学中的神经网络没太大关系，只能算是受其启发，个人感觉有点像飞机和鸟的关系。

从线性模型说起

先从最简单的线性模型说起，高中我们学过的线性回归就是线性模型，求解线性回归模型最经典的解法是最小二乘法。

写成向量的形式：

回想高中学过的内容，通过会给我们一堆二维点的坐标值，需要找到一条直线来拟合这一堆点，如下图所示

二维情况我们需要求解的 w 向量其实只有一个值，对应的拟合函数 f(x) 就是一条直线。

若将上述示例扩展一下：将给定的二维点扩展为高维空间的点。我们要找的拟合函数就变成了一个超平面，但求解方法还是一样的。

感知机（Perceptron）模型

在学习神经网络的时候，还有一个经常听到的词汇叫做 “感知机（Perceptron）”，感知机模型通常喜欢用下面的图来表示：

上面我们提到的线性模型，通常用来做回归，拟合数据点。而感知机模型通常用来做二分类，其数学描述为：

可以看到，感知机模型是在线性模型的基础上再套用了一个函数 f，函数 f 是符号函数，其数学形式为：

结果为 +1 时，表示正类，-1 表示 负类。感知机模型的思想可以归纳为：找到一个线性超平面，可以将高维空间的两类点完美的分开。

很明显，感知机模型的缺点是：数据集必须是线性可分的。例如下面这样的数据集用感知机模型是无法准确分类的。

非线性模型 - 逻辑回归（Logistic Regression，LR）

线性模型不能解决线性不可分的问题，为了解决这个问题，很自然的，需要引入非线性模型。

最简单的非线性模型就是逻辑回归了。逻辑回归这个名字很容易让人迷惑，误以为是用来处理回归问题的，事实上，逻辑回归模型更多的是用来处理分类问题。

逻辑回归是数学表达为：

仔细一看，跟上面提到的感知机模型的数学描述一样。是的，目前看就是一样的，都是在线性模型的基础上套一个函数 f，区别也就在函数 f 的选取上，感知机模型使用符号函数 sign 作为 f，逻辑回归则使用的是鼎鼎大名的 sigmoid 函数。

嗯，sigmoid 函数很有名，在机器学习界应该算家喻户晓，它的形状是一个 S 形，如下：

sigmoid 函数的数学公式为：

sigmoid 函数的厉害之处在于：它的值域是 (0, 1)。对于任意大小的输入，它都可以将其压缩至 (0, 1) 之间，更好玩的是，它是关于 (0, 0.5) 这个点中心对称的。所以做二分类时，当逻辑回归的输出值大于 0.5 的时候，判断为正类；输出值小于 0.5 的时候，判断为负类。这个输出值也可以作为类别判断的概率值来使用。

LR 在推荐领域应用非常广泛，最常用来做 CTR 预估，可以算是机器学习中最经典的模型之一。

但是，读到这里的读者其实会发现，在同样的参数 w, b 下，LR 和感知机模型的分类结果其实是一样的，只是输出的数值不一样。为什么 LR 应用这么广泛，而感知机模型几乎没有实际应用呢？

关于这个问题，我的理解是 LR 的输出更加直观，直接可以作为分类概率值使用，适合用来做排序和调整分类的概率阈值。

另外还有一个问题：LR 模型本质上也可以看做线性模型，对于线性不可分的数据，它其实也是无能为力的，为何它还能得到广泛的应用？

这个问题的答案是：既然 LR 模型无法处理线性不可分数据，那我们就将线性不可分数据做一个预处理，使其变成线性可分的数据。听起来比较玄乎，其实这个操作有一个专有名词，叫做 “特征交叉”, 做推荐的朋友肯定不会陌生，“特征交叉” 的过程实际就是将数据从线性不可分转为线性可分的过程。类似的还有一个例子就是：核函数在 SVM 中应用。SVM 本质上也是线性模型，但其可以通过核函数映射，将低维线性不可分数据转为高维线性可分数据，从而达到分类线性不可分数据的目的。

所以，总结一下，LR 虽然通过 sigmoid 函数引入了非线性，但事实上它还是不能自动处理线性不可分数据，必须通过人工的特征交叉来解决。那有没有一种方法，可以不需要人工干预也能够处理线性不可分数据呢？

答案必然是有的，也就是下面讲的：神经网络。

神经网络

首先说结论，神经网络毫无疑问是一个强大的非线性模型，只要参数够多，可以拟合任意函数。

先上图：

可以看到，神经网络主体分成三个部分：输入层（Input Layer），隐藏层（Hidden Layer），输出层（Output Layer）。每一层的基本单元是 “神经元（Neuron）”。

输入层就是输入数据层，隐藏层可以理解为是一个黑盒子，里面有很多参数，输出层就是输出数据层。

“神经元” 是什么呢？貌似生物里面学过，还有 “突触”、“神经递质” 等一系列吊吊哒的东西。不过，很可惜，这里的 “神经元” 更那些没什么关系，就像飞机发动机跟鸟类心脏没什么关系一样。

这里的 “神经元” 其实我们在前面见过，它就是 LR 换了个马甲的样子，嗯，所以皮肤很重要。下面是它的数学描述：

是的，又跟感知机和 LR 的数学描述一样。区别还是在套用的 f 函数上。现在呢，在神经网络中，这个 f 函数也有了一个专有名词，叫做 “激活函数(activation function)”，嗯，不是咱们公司的 “激活”。再看个图好理解：

每个神经元的输出可以理解成 LR 的输出，所以其实也可以先把神经网络粗暴的理解成很多个 LR 的组合体。

每一层的输出又作为下一层输入，堆叠很多这样的层，就叫做深度神经网络了，研究这些深度神经网络的学问又叫深度学习了。那有没有浅度学习呢，答案是没有的，一般 3, 4 层网络就号称深度网络了。

当然，神经网络毕竟发展了这么多年，也不能简单的用 LR 组合体来解释，其中还是有不少细微差别的。下面一一道来。

激活函数

首先是激活函数，早期的神经网络最常用的激活是 sigmoid 和 tahn 函数（用 sigmoid 的话就是 LR 组合体了）。它俩的形状都是 S 形，值域一个是 (0, 1)，一个是 (-1, 1)，差不多，都起到了引入非线性和压缩输入范围的效果。

但事实上，S 形的激活函数都有一个问题，那就是容易造成梯度消失（至于什么是梯度消失，需要先理解反向传播、梯度下降的概念，这个以后再讲，或者读者自行查资料，不过这里可以先记住结论，就是 sigmoid 和 tahn 作为激活函数都有大问题）。

机器学习界的扛把子 Hinton 老爷子受到生物学研究的启发，于 2010 年提出了一种全新的激活函数，叫做 ReLU（Rectified Linear Units，线性整流单元），效果拔群，远超 sigmoid 和 tahn，又由 12 年的 AlexNet 发扬光大，目前已经成为神经网络的标配（标配的意思是，还有其他配置，例如 leaky_relu，PReLU，ELU，Maxout 等，不过还是 ReLU 应用最广泛）。

ReLU 的神奇之处在于，它已经被证明很好、很强大，但它的数学公式可以算极简，如下：

ReLU 函数图像如下：

极简，极好。

ReLU 解决了 sigmoid/tahn 函数的梯度消失的问题，但较真的话，ReLU 也有一个问题，就是它在小于 0 那一段是没有梯度的，会导致神经元 “死掉”，事实上，实际证明这个问题不大，可能的原因是神经元可能处于 “死死活活” 的状态，这次是输入它死了，下次的输入它又复活了。

至于为什么 ReLU 这么简单，效果还这么好？嗯，这方面研究很多，我比较认可的解释是：咱生物身上的激活函数就是这么工作的。

下面列几个常见的激活函数，有兴趣的同学可以自行搜索研究。

Batch Normalization

Batch Normalization，简称 BN，目前跟 ReLU 一样，也算是神经网络的一个标配（RNN 除外，RNN 不适合用 BN，不过有类似的 Layer Normalization），加上 BN 之后，一般能够使得网络收敛速度更快，效果更好。

BN 也跟 ReLU 一样，有个特点：简单，强大。

BN 深层次的思想暂且不提，有兴趣的读者可以看原始论文（强烈建议看一看，Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift），BN 的简单思想就是将每一层神经网络的输入做一次归一化，使其均值为 0，方差为 1，这样可以最大限度的减小深层网络与线层网络之间的耦合，使得训练真正的深度网络成为可能（例如训练千层饼网络 ResNet-1202）。

另外 Batch Normalization 中的 Batch 指的是在 Batch 维度做归一化，属于纵向归一化，而 Layer Normalization 则是横向归一化，不依赖 batch 维度。这里不展开细讲，有兴趣的同学可以自己搜索相关文档深入。

需要注意的是，BN 的使用场景是神经网络输入数据的 batch 不能太小，太小的话效果可能会很差。还有就是需要注意 BN 在 train 和 inference 阶段的不同，在研究 BN 原理的时候需要搞懂这些。

BN 的另一个好处是使得 sigmoid 和 tahn 这种存在梯度饱和区的激活函数也可以用在超深神经网络中，虽然效果没有 ReLU 好 😃，但不加 BN 的话，用 sigmoid 和 tahn 训练超深网络根本没法收敛。

最后，虽然 BN 应用广泛，但受其启发，学术界还是提出了很多其他的 Normalization 方法，比如 Instance Normalizaion，Weight Normalizaion，RNN 可用的 Layer Normalization，CNN 专用的 Group Normalization，有兴趣的可以研究看看。最后，放一张图，一图胜万言：

图片来自于论文 Group Normalization。

Dropout

经典正则化方法有 L1, L2 正则，这里不讲，神经网络中还有一种经典的正则化方法，就是 Dropout，也是扛把子 Hinton 提出来的。特点么，也是一个：简单，强大。

Dropout 一般用于全连接层（Fully Connected Layer），在 CNN 中用的少，RNN 中的 Dropout 需要特殊处理，不展开。

下面以全连接层的 Dropout 为例，如图所示：

思想就是，在前向传播的过程中随机 drop 掉一些连接，注意，重点是随机。

另外，dropout 很容易让人忽视的一点是其在 train 和 test 阶段的不同，假设 dropout 保留的神经元比例是 p，如果在 train 阶段不做任何处理，那么在 inference 阶段输出就要乘上 p，如下图所示：

当然，很多深度学习框架会选择在 train 的时候乘上 1/p，在 inference 阶段不做处理，目的是减少 inference 时间，TensorFlow 就是这样处理的。

对 dropout 有效的解释也很多，有一种是，每次随机 dropout 一些连接，使得每次的网络结构不一样，相当同时在训练很多不同的网络，最后 inference 的结果是这些网络做 ensemble 的结果；另一种是，随机 dropout 一些连接，可以减小同一层神经元之间耦合度，dropout 逼迫每个神经元都只能依赖自己，大大减小了互相耦合造成的过拟合情况。

有兴趣可以看看 dropout 原始论文：Dropout: A Simple Way to Prevent Neural Networks from Overfitting

权重初始化

不同于简单的 LR 模型，神经网络参数众多，损失函数平面存在非常多的局部最优点，所以参数初始化是非常重要的（不过随着 BN 的出世，神经网络对初始化参数的敏感程度大大降低了）。

常用的有两种权重初始化方法： Glorot/Xavier 初始化和 MSRA 初始化。

Glorot/Xavier 初始化针对的是激活函数为 sigmoid 的情况，MSRA 初始化则针对激活函数为 ReLU 的情况做了优化。

TensorFlow 中变量默认的初始化方法是 Glorot/Xavier 初始化。

Glorot/Xavier 初始化方法是将权重按均值为 0，方差为

的分布进行初始化，其中 n_in 为输入神经元个数，n_out 是输出神经元的个数。这个公式是基于 sigmoid 激活函数推导出来的。

MSRA 初始化针对 ReLU 激活函数做了修正，只需要将 Glorot/Xavier 初始化方差乘以 2 就可以了。

总结

从线性模型到神经网络，我们发现其实神经网络可以近似简单粗暴的理解为多个 LR 的组合体。后面我们继续探索了神经网络更深入更细节的东西，包含激活函数、Batch Normalization、dropout、权重初始化。每个点其实还可以更深入挖掘，限于篇幅，这里不展开，有兴趣可以自行探索。

最后给一个很好玩的网站：
http://playground.tensorflow.org 试试加多少层、多少神经元可以完美分开各个数据集，enjoy！