t分布
假设一个情境：我们想知道糖球的典型重量。但由于只有一家糖果店提出要求，因此只抽取了包含10颗具有代表性的样本，然后称了每一粒糖球的重量。这个样本的。
老样子：
第1步：选择总体统计量
我们需要为糖球重量均值构建一个置信区间，也就是要为总体均值构建置信区间。由于需要求
的置信区间，于是下一步就是求
的抽样分布——
的分布。
第2步：求的概率分布
这里我们碰到问题，从上面的快捷运算表可以得知，当总体分布本身符合正态分布时，我们未知总体方差
，需要用点估计量
代替，但是条件是n很大（至少30），这条路走不通了❌
另一个问题是，样本太小了，估计值很可能出现较大误差——比使用大样本的误差要大得多。这些潜在的误差意味着使用正态分布无法得出足够精确的的概率，那样就无法得出精确的置信区间。
那么，符合哪种分布呢？实际上，它符合t分布。
当样本很小时，
符合t分布
当总体分布符合正态分布，未知，且可供支配的样本很小时，
符合t分布。
t分布是外形光滑、对称的曲线，确切形状取决于样本大小。当样本很大时，t分布外形很像正态分布；当样本很小时，曲线较为扁平，有两条粗粗的尾巴。它只有一个参数——v，v=n-1。n为样本的大小，v被称为自由度。
下面这张图，对应了各种v对应的t分布。
“T符合t分布且自由度为v”的简明表示方法为：
（T为检验统计量，计算方法见下；t(v)表示：我们正在使用自由度为v的t分布；v=n-1）
t分布的使用方法与正态分布相似——先将概率区间的上下限转化为标准分，然后用概率表求出所需要的结果。
求t分布的标准分
t分布的标准分的计算方法与正态分布的标准分的计算方法相同。像处理正态分布一样，我们先减去抽样分布的期望，然后用所得到的差除以标准差。唯一的差别是，我们用T而不是Z代表结果，这是为了配合t分布的使用。
我们需要求出的分布（详细见：上章，样本均值的概率），于是要用到
的期望和标准差。
的期望为
，标准差为
。由于需要用s估计
的数值，于是t分布的标准分的算式如下：
我们只要代入和n就行了。
已知v=n-1=9，，则
第3步：决定置信水平
置信水平指的是你希望自己对“置信区间包含总体统计量”这个说法有多大信心。像上面一样，让我们用95%作为总体均值的置信水平，于是总体均值位于置信区间之中的概率为0.95。
第4步：求出置信上下限
t分布的置信上下限的算法类似于正态分布的算法，即可通过下式进行计算：
我们可以通过t分布概率表求出t值。
使用t分布概率表
通过t分布概率表可求出P(T>t)中的t值。在我们的实例中，p=0.025。
为了求出t值，先从概率表中查找第一列的v值，再查找第一行的p值，二者的交点处即为t值。例如，查找v=7和p=0.05，可得t=1.895。
求出t值后，就能求置信区间了。
t分布与正态分布比较
在用小样本估计总体方差时，t分布更精确。
基于小样本估计有一个问题，即可能无法精确地反映总体方差的真实值。也就是说，我们需要让区间变宽，以便在置信区间中留出一些误差空间。
t分布的形状随着v值发生变化，由于考虑了样本的大小，即使的估计精度存在各种足以让人有所察觉的不确定性，t分布也能忽略不计。当n很小时，t分布给出的置信区间比正态分布的置信区间更宽，这使它更适合用于小样本。
置信区间简明算法——t分布
下面是有关t分布的使用时机以及的置信区间的简单提示。
为了求出t(v)，需要查找t分布概率表。为此，用v=n-1和你确定下来的置信水平求出置信区间。
例题解答
另一道例题
问：如果样本大小n发生改变，对置信区间会有何影响？
答：如果n减小，则置信区间变宽；如果n增大，则置信区间变窄。
置信区间的表达式为：
其中，误差范围 = c * 统计量的标准差
统计量的标准差取决于样本的大小——n越大，统计量的标准差越小；这就是说，n越大误差范围越小，n越小误差范围越大。
一般说来，较小的样本形成较宽的置信区间，较大的样本形成较窄的置信区间。
总结
我们现在学会了两种估计总体统计量的方法了。
- 上一章，我们学会使用点估计量，点估计量方法可用于估计总体统计量的精确数值，是根据样本数据又可能做出的最好预测。
- 这一章，我们学会使用总体统计量的置信区间。这个方法得到的并非总体统计量的精确估计，而是求出总体统计量的一个有较高可信度的数值范围。
