我们已经介绍了包括线性回归和softmax回归在内的单层神经⽹络。然⽽深度学习主要关注多层模型。在本节中，我们将以多层感知机(multilayer perceptron，MLP)为例，介绍多层神经网络的概念。
目录
1. 隐藏层
2. 激活函数
3. 多层感知机
4. 小结
1. 隐藏层
多层感知机在单层神经⽹络的基础上引⼊了一到多个隐藏层(hidden layer)。隐藏层位于输⼊层和输出层之间。下图展示了⼀个多层感知机的神经⽹络图，它含有⼀个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。
在上图所示的多层感知机中，输⼊和输出个数分别为4和3，中间的隐藏层中包含了5个隐藏单元 (hidden unit)。由于输入层不涉及计算，图3.3中的多层感知机的层数为2。由上图可见，隐藏层中的神经元和输⼊层中各个输⼊完全连接，输出层中的神经元和隐藏层中的各个神经元也完全连接。因此，多层感知机中的隐藏层和输出层都是全连接层。
具体来说，给定⼀个⼩批量样本
,其批量大小维n，输入个数为d。假设多层感知机只有⼀个隐藏层，其中隐藏单元个数为h。记隐藏层的输出(也称为隐藏层变量或隐藏变量)为H，有
。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为
,输出层的权重和偏差参数分别为
。我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出
的计算为：
也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式⼦联⽴起来，可以得到：
从联⽴后的式⼦可以看出，虽然神经⽹络引⼊了隐藏层，却依然等价于⼀个单层神经⽹络:其中输出层权重参数为
,偏置参数
.不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经⽹络等价。
2. 激活函数
上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation）,而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的⼀个方法是引⼊⾮线性变换，例如对隐藏变量使⽤按元素运算的⾮线性函数进⾏变换，然后再作为下⼀个全连接层的输入。这个⾮线性函数被称为激活函数(activation function)。下⾯我们介绍⼏个常用的激活函数。
- ReLU函数
ReLU(rectified linear unit)函数提供了一个很简单的⾮线性变换。给定元素x，该函数定义为：
可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。为了直观地观察这一⾮线性变换，我们先定义⼀个绘图函数：
%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
import sys
sys.path.append(".")
import d2lzh_pytorch as d2l
def xyplot(x_vals, y_vals, name):
d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
d2l.plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel(name + '(x)')我们接下来通过Tensor提供的relu函数来绘制ReLU函数。可以看到，该激活函数是一个两段线性函数。
x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')
显然，当输⼊为负数时，ReLU函数的导数为0;当输⼊为正数时，ReLU函数的导数为1。尽管输⼊为0 时ReLU函数不可导，但是我们可以取此处的导数为0。下⾯绘制ReLU函数的导数。
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')
- sigmoid函数
sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间:
sigmoid函数在早期的神经⽹络中较为普遍，但它⽬前逐渐被更简单的ReLU函数取代。在后⾯“循环神经⽹络”中我们会介绍如何利用它值域在0到1之间这⼀特性来控制信息在神经⽹络中的流动。下⾯绘制了sigmoid函数。当输⼊接近0时，sigmoid函数接近线性变换。
y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')
依据链式法则，sigmoid函数的导数：
下面绘制了sigmoid函数的导数。当输⼊为0时，sigmoid函数的导数达到最⼤值0.25;当输⼊越偏离0 时，sigmoid函数的导数越接近0。
x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')
- tanh函数
tanh(双曲正切)函数可以将元素的值变换到-1和1之间:
我们接着绘制tanh函数。当输⼊接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数关于坐标系的原点上对称。
y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')
依据链式法则，tanh函数的导数：
下⾯绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1;当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。
x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')
3. 多层感知机
多层感知机就是含有⾄少⼀个隐藏层的由全连接层组成的神经⽹络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿⽤本节之前定义的符号，多层感知机按以下⽅式计算输出:
其中
表示激活函数。在分类问题中，我们可以对输出O做softmax运算，并使⽤用softmax回归中的交叉熵损失函数。 在回归问题中，我们将输出层的输出个数设为1，并将输出O直接提供给线性回归中使⽤的平⽅损失函数。
4. 小结
1）多层感知机在输出层与输⼊层之间加⼊了一个或多个全连接隐藏层，并通过激活函数对隐藏层输出进行变换。
2）常⽤的激活函数包括ReLU函数、sigmoid函数和tanh函数。
