问题描述
给定n个矩阵构成的一个链给定｛A1,A2,…,An｝,其中i=1，2，...,n.矩阵Ai的维数为pi-1*pi，如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
最优子结构
对乘积A1A2...An的任意加括号方法都会将序列在某个地方分成两部分，也就是最后一次乘法计算的地方，我们将这个位置记为k，也就是说首先计算A1...Ak和Ak+1...An，然后再将这两部分的结果相乘。
最优子结构如下：假设A1A2...An的一个最优加括号把乘积在Ak和Ak+1间分开，则前缀子链A1...Ak的加括号方式必定为A1...Ak的一个最优加括号，后缀子链同理。
一开始并不知道k的确切位置，需要遍历所有位置以保证找到合适的k来分割乘积。
状态转移方程
代码实现
#include<iostream> using namespace std; //p为矩阵链，p[0],p[1]代表第一个矩阵，p[1],p[2]代表第二个矩阵，length为p的长度 //所以如果有六个矩阵，length=7，m为存储最优结果的二维矩阵，t为存储选择最优结果路线的 //二维矩阵 void MatrixChainOrder(int *p,int (*m)[10],int (*t)[10],int length) { int n=length-1; int i,j,k,q,num=0; //A[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0; for(i=1;i<length;i++) { m[i][i]=0; } //i代表矩阵链的长度，i=2表示有两个矩阵相乘时如何划分 for(i=2;i<=n;i++) { //j表示从第j个矩阵开始的i个矩阵如何划分是最优 for(j=1;j<=n-i+1;j++) { //k为从第j个数i个矩阵就是k，从j到k表示他们之间的i个矩阵如何划分 k=j+i-1; //m[j][k]存储了从j到k使用最佳划分所得到的最优结果 m[j][k]=0x7fffffff; //q为介于j到k-1之间的数，目的是利用q对j到k之间的矩阵进行试探性的划分， //从而找到最优划分，这是一种遍历性的试探。 for(q=j;q<=k-1;q++) { num=m[j][q]+m[q+1][k]+p[j-1]*p[q]*p[k]; if(num<m[j][k]) { m[j][k]=num; t[j][k]=q; } } } } } void PrintAnswer(int(*t)[10],int i,int j) { if(i==j) { cout<<"A"<<i; } else { cout<<"("; PrintAnswer(t,i,t[i][j]); PrintAnswer(t,t[i][j]+1,j); cout<<")"; } } int main() { int p[7]={30,35,15,5,10,20,25}; int m[10][10],t[10][10]; MatrixChainOrder(p,m,t,7); MatrixChainOrder(p,m,t,7); PrintAnswer(t,1,6); cout<<endl; return 0; } 运行结果：
参考：算法导论十五章--矩阵链乘法-http://blog.csdn.net/liuzhanchen1987/article/details/7835053
