化简函数 python 化简函数F1(A,B,C,D)=∑m(2,3)

文章目录

• 一、主要内容

• 问题的提出
• 函数化简的目的
• 函数化简的方法：

• 二、代数法化简逻辑函数
• 三、卡诺图法化简逻辑函数

• 1. 卡诺图
• 2. 卡诺图填图

• 1. 真值表填卡诺图
• 2. 表达式化为最小项表达式填卡诺图
• 3. 表达式作为一般与或式填卡诺图

• 3. 函数的卡诺图化简

• 1. 典型卡诺图
• 2. 函数的卡诺图化简

• 3. 含有任意项的逻辑函数的化简

• 1. 任意项定义
• 2. 带有任意项的逻辑函数的化简方法

• 四、练习

一、主要内容

问题的提出

• 同一个逻辑函数可以有多种表达形式；
• 一种形式的表达式，对应一种电路；
• 表达形式越复杂，则电路越复杂；

如何处理函数，以实现用尽量少的单元电路、尽量简单的电路类型来达到目的。即，逻辑函数要化简。

函数化简的目的

• 逻辑电路所用门的数量少，每个门的输入端个数少，降低成本；
• 逻辑电路构成级数少，保证逻辑电路能可靠地工作，提高电路的工作速度和可靠性。

函数化简的方法：

• 代数化简法（公式法）
• 卡诺图化简法

二、代数法化简逻辑函数

代数法化简逻辑函数的实质是反复运用逻辑代数的公式和规则，消去表达式中的多余项和多余变量。在用代数法化简逻辑函数时， 往往要依靠经验和技巧 ，带有一定的试凑性。

方法：

• 并项： 利用 $AB + A \overline B = A$ 将两项并为一项，且消去一个变量 $B$；
• 消项： 利用 $A + AB = A$ 消去多余的项 $AB$；
• 消元：利用 $A + \overline AB = A + B$ 消去多余变量 $\overline A$；
• 配项：利用 $AB + \overline AC + BC = AB + \overline AC$

函数表达式一般化简成 与-或式 ，其最简应满足的两个条件：
1）表达式中“与”项的个数最少；
2）在满足1）的前提下，每个“与”项中的变量个数最少。
$e.g.$ 化简$F = A\overline C + ABC + AC\overline D + CD$。
$\begin{aligned} F &= A\overline C + ABC + AC\overline D + CD \\ &= A(\overline C + BC) + C(A\overline D + D)\\ &= A(\overline C + B) + C(A+D)\\ &= A\overline C + AB + AC + CD\\ &= A(\overline C + C) + AB + CD\\ &= A(1 + B) + CD = A +CD \end{aligned}$

实际上，我们最经常使用的是卡诺圈法，代数法化简常常作为结果的印证，我也就不麻烦的输入公式了，直接截图吧。

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三、卡诺图法化简逻辑函数

1. 卡诺图

卡诺图：是真值表的图形表示：

• 将变量分成两组，构成二维表；
• 行列组合排列顺序为循环码；
• 表中每个方格对应真值表中的一行，代表一个最小项。

$\blacksquare$

• 相邻方格的最小项，具有 逻辑相邻性 ，即有一个变量互为反变量；
• 具有逻辑相邻性的方格有
  • 相接 —— 几何位置相邻的方格
  • 相对 —— 上下两边、左右两边的方格
  • 相重 —— 多变量卡诺图，以对称轴相折叠，叠在一起的方格（五变量）

2. 卡诺图填图

卡诺图有什么用？为什么要用循环码？

• 循环码：相邻两个码字有一位相反；
• 卡诺图：逻辑相邻项有一个变量互为反变量；
• 卡诺图中的两个逻辑相邻项相加可以消去一个变量。

用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。

1. 真值表填卡诺图

2. 表达式化为最小项表达式填卡诺图

对于 $F = \overline AB\overline C + ABD + AC$ 来说， 可以如下化简：

$\begin{aligned} F &= \overline AB\overline CD + \overline A B\overline C\ \overline D + ABCD + AB\overline CD + A\overline BC\overline D + A\overline BCD + ABC\overline D + ABCD\\ &= m_5 + m_4 + m_{15} + m_{13} + m_{10} + m_{11} + m_{14} + m_{15}\\ &= \sum m(4,5,10,11,13,14,15) \end{aligned}$

3. 表达式作为一般与或式填卡诺图

由一般与-或式填卡诺图示例1：三变量 $F = AB + \overline AC$

1.将所有满足 $A=1且B=1$的方格内填“1”

2.将所有满足 $A=0且C=1$ 的方格内填“1”

由一般与或式填卡诺图示例2：四变量 $F = BD + \overline B\ \overline D + A\overline B CD+ \overline B C \overline D$
1.在所有满足 $B=1且D=1$ 的方格内填“1”
2.将所有满足 $B=0且D=0$ 的方格内填“1”
3.在所有满足 $A=1且B=0且C=1且D=1$ 的方格内填“1”
4.在所有满足 $B=0且C=1且D=0$

3. 函数的卡诺图化简

化简依据：相邻最小项 $\rightarrow$ 提出公因子 $\rightarrow$ 消去互补变量
$e.g.\ \ AB + A\overline B = A(B +\overline B) = A$
$e.g.\ \ ABC + A\overline BC = AC(B + \overline B) = AC$

方法：

1）填写函数卡诺图

2）对邻项方格画卡诺圈

3）消去互补变量，直接写出最简与-或式

1. 典型卡诺图

$e.g.$ 二变量卡诺图的典型卡诺圈

$e.g.$ 三变量卡诺图的典型卡诺圈

$e.g.$ 四变量卡诺图的典型卡诺圈

2. 函数的卡诺图化简

无效圈示例1：不是矩形

无效圈示例2：没有新变量，无效圈

写出每个卡诺圈的最小项表达式：保留卡诺圈内值不变的变量。$F = AB + BC$：

$F_1：F(A,B,C,D)= \sum m(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)$

• 圈 $1$ ：函数的与-或表达式；
• 圈 $0$ ：反函数的与-或表达式(下面的左图：$\overline F=ABD$)
• 圈 $1$ ：函数的与-或表达式；
• 圈 $0$ ：函数的或-与表达式（此时保持不变为0的变量用原变量，为1用反变量）

需要注意的是：不同的圈法，会得到不同的最简结果：

3. 含有任意项的逻辑函数的化简

1. 任意项定义

一个逻辑函数，如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会再现，或者虽然每种输入取值组合都可能出现，但此时函数取值为1还是为0无关紧要，那么这些输入取值组合对应的最小项称为无关项或者任意项 。 任意项用 “d”或者 “ × ” 表示 。

任意项可以加到函数表达式中，也可以不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。其值可以取1，也可以取0。

例1：十字路口红绿灯，设控制信号 $G=1 \rightarrow$ 绿灯亮；控制信号 $R=1 \rightarrow$ 红灯亮；则 $GR$ 可以为 $GR=00, 01,10$ ，但 $GR ≠ 11$

例2：电动机正反转控制，设控制信号 $F=1 \rightarrow$ 正传；控制信号 $R=1 →$ 反转；则 $FR$ 可以为 $FR=00, 01, 10$ ，但 $FR ≠ 11$

例3：$8421BCD$ 码中，从 $1010 ～ 1111$

2. 带有任意项的逻辑函数的化简方法

例1： 给定某电路的逻辑函数真值表如右图，求 $F$ 的最简"与或"式：

例2：已知真值表如右图，用卡诺图化简：

四、练习

1.用代数法化简逻辑函数

$\begin{aligned} F &= AC + \overline BC + B\overline D + A(B + \overline C) + \overline AC\overline D + A\overline BDE\\ &= A(C + \overline C) + \overline BC + B\overline D + AB + \overline AC\overline D + A\overline BDE\\ &= A + \overline BC + B\overline D + \overline AC\overline D\\ &= A + (\overline A\ \overline BC\overline D + \overline A\ \overline BCD + A\overline BC\overline D + A\overline BCD) + (\overline AB\overline C\ \overline D + \overline ABC\overline D+AB\overline C\ \overline D+ABC\overline D) + (\overline ABC\overline D + \overline A\ \overline BC\overline D)\\ &= A + \overline BC + B\overline D \end{aligned}$

2.用卡诺图化简一下函数：

（1）$F = BD + \overline AB\overline C + A\overline CD+ \overline ACD + \overline A\ \overline B$

答：根据下面的卡诺图，化简函数为 $F=\overline A\ \overline B + \overline A\ \overline C +B D + \overline CD$

（2）$F(A,B,C,D) = \sum m(0,1,2,4,5,8,9,10,12,13)$

答：根据卡诺图，化简函数为：$F = \overline C +\overline B\ \overline D$

（3）$F(A,B,C,D) = \sum m(0,1,2,9,12) + \sum d(4,6,10,11)$

答：根据下面的卡诺图，化简函数为：$F=\overline A\ \overline D +B \overline C\ \overline D +\overline B\ \overline CD$

3.将以下的函数分别化简为最简与或式和最简或与式。

$F(A,B,C,D) = \sum m(2,3,5,6,7,10,11,13,14,15)$

答：根据下图，可得最简与或式为：$F=C+BD$；

根据下面的卡诺图，圈0得最简或与式为：$F=(C+D)(B+C)$