正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）的MATLAB实现

压缩感知（Compressed Sensing, CS）是一种利用稀疏信号的先验知识，用远少于奈奎斯特采样定理要求的样本数目恢复整个信号的技术。正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）是一种常见的贪婪算法（Greedy algorithm），用于解决压缩感知中的信号重构问题。OMP算法试图找到一组稀疏基，这些基与测量值之间有最大的相关性，并且用于迭代地重构原始信号。

OMP算法

下面是OMP算法的简要步骤：

1. 初始化残差 ( r_0 = y )，其中 ( y ) 是测量向量，稀疏性基矩阵 ( \Phi )，观测矩阵 ( \Psi )，支撑集 ( \Lambda = \emptyset )（选择的基函数的索引集），和迭代计数器 ( k = 0 )。
2. 找到与当前残差最相关的列向量（原子） ( \phi_i )
   ( i = \arg\max_{j} | \langle r_k, \phi_j \rangle | )。
3. 将选中的索引 ( i ) 加到支撑集 ( \Lambda ) 中 ( \Lambda = \Lambda \cup {i} )。
4. 用最小二乘法从支撑集( \Lambda )上的列构建信号的近似解，即解线性方程 ( \Psi_{\Lambda} x’ = y )，得到( x’{\Lambda} )，在( \Lambda )上的系数，其中 ( \Psi{\Lambda} ) 表示 ( \Psi ) 的列仅包含 ( \Lambda ) 中索引对应的列。
5. 更新残差 ( r_{k+1} = y - \Psi_{\Lambda} x’ )。
6. 检查结束条件（例如，残差足够小，( ||r_{k+1}||_2 < \epsilon ) 或已达到预定的迭代次数）。如果未达到结束条件，( k = k + 1 ) 并返回步骤 2。
7. 输出重建信号，将 ( x’ ) 在非 ( \Lambda ) 的位置上填充零。

MATLAB代码

以下是用MATLAB实现上述过程的代码示例：

% 定义参数
N = 128;       % 信号长度
M = 32;        % 测量数量
K = 10;        % 稀疏度（信号中非零值数量）

% 生成一个 K-稀疏信号（随机位置上有非零值）
x = zeros(N, 1);
q = randperm(N);
x(q(1:K)) = randn(K, 1);

% 创建一个随机高斯测量矩阵 Phi
Phi = randn(M, N) / sqrt(M);

% 生成测量值 y
y = Phi * x;

% 调用 OMP 算法
x_hat = OMP(y, Phi, eye(N), K);

% 绘制原始信号和恢复信号
figure;
subplot(2, 1, 1);
stem(x, 'b');
title('原始稀疏信号');
subplot(2, 1, 2);
stem(x_hat, 'r');
title('OMP恢复信号');

% OMP 函数
function x_hat = OMP(y, Phi, Psi, K)
    % y - 测量向量
    % Phi - 传感矩阵
    % Psi - 稀疏基矩阵（在这里是单位矩阵）
    % K - 稀疏度或迭代次数

    % 初始化
    r = y;                         % 初始残差（即测量值）
    index_set = [];                % 支撑集合
    x_hat = zeros(size(Psi, 2), 1); % 估计信号初始化
    
    for k = 1:K
        % 计算相关性
        correlations = abs(Phi'*r);

        % 选择具有最大相关性的索引
        [~, idx] = max(correlations);
        index_set = union(index_set, idx);

        % 使用当前支撑集合进行最小二乘求解
        x_temp = zeros(size(Psi, 2), 1);
        x_temp(index_set) = pinv(Phi(:, index_set)) * y;

        % 更新残差
        r = y - Phi(:, index_set) * x_temp(index_set);

        % 检查停止准则，可以是基于残差的
        if norm(r) < 1e-6
            break
        end
    end
    
    x_hat(index_set) = x_temp(index_set);
end

输出结果

输出结果如下，上面是原始信号，下面是恢复后的信号。

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