一、简单介绍
参加wiki页面:http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)
二、基本形式
例题:POJ 3014 Cake Pieces and Plates
题意:(m的n划分的总数)
给你m个东西,放在n个相同的盒子中,且每个盒子可以放任意多,问有多少种放法。
思路:
记dp[i][j]表示j个东西放i个盒子中的方法数。
则状态只有2种:有空的,和没有空的。
即dp[i][j] = 有空的 + 没有空的。
情况1:j < i
就是dp[i - 1][j]
所以dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 0
情况2:j == i
没有空的时,有且仅有一种情况。
有空的时,方法同上,单独取出一个,方法数:dp[i - 1][j]
所以dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
情况3:j > i
没有空的时,可以从j中拿出i个依次放到i个盒子中,剩下的随便放即可,方法数dp[i][j - i]
有空的时,同上,dp[i - 1][j]
所以dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
完整代码:
/*1875ms,59024KB*/
#include<cstdio>
const int mod = 1000000007;
int dp[4505][4505];
int part(int m, int n)
{
int i, j;
for (j = 1; j <= m; ++j) dp[1][j] = 1;
for (i = 2; i <= n; ++i)
{
for (j = 1; j <= m; ++j)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (i == j) dp[i][j]++;
if (j > i) dp[i][j] += dp[i][j - i];
if (dp[i][j] >= mod) dp[i][j] -= mod;
}
}
return dp[n][m];
}
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
printf("%d\n", part(m, n));
return 0;
}
另一种写法:
#include<cstdio>
int dp[100][100];
int part(int n, int k)
{
if (dp[k][n]) return dp[k][n];
int i, j;
dp[0][0] = 1;
for (i = 1; i <= k; ++i)
for (j = 0; j <= n; ++j)
dp[i][j] = (j >= i ? dp[i - 1][j] + dp[i][j - i] : dp[i - 1][j]);
return dp[k][n];
}
int main()
{
for (int i = 0; i < 100; ++i)
printf("%d\n", part(i, i));
return 0;
}
相似题目:
三、附带一些限制的整数划分
比如:奇划分数,即将n划分为若干正奇数之和的划分数
如3=1+2=1+1+1,所以3的奇划分数为2
设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数,g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。
由于将g[i][j]的j个划分都去掉1,可以得到f[i-j][j],所以g[i][j] = f[i-j][j]。
f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案,可以将1的划分除去,转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”,即f[i-1][j-1];对于不包含1的划分方案,对j个划分每一个都去掉一个1,即为将i-j划分为j个偶数之和的划分数,即g[i-j][j]。
所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。
f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数。
完整代码:
#include<cstdio>
const int mx = 1005;
int f[mx][mx], g[mx][mx];
int solve(int n)
{
f[0][0] = g[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= i; j++)
{
g[i][j] = f[i - j][j];
f[i][j] = g[i - j][j] + f[i - 1][j - 1];
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++)
ans += f[n][i];
return ans;
}
int main()
{
int n;
while (~scanf("%d", &n))
printf("%d\n", solve(n));
return 0;
}
其他的还有很多,最常见的是和背包相联系的,比如
POJ 1014 Dividing (多重背包)
POJ 3181 Dollar Dayz (找零钱问题,完全背包)
UVa 674 Coin Change (找零钱问题,完全背包)