最近在一道 Java 习题中，看到这样的一道题：
What is the output when this statement executed:
System.out.printf(-7 % 3);
正整数的取余运算大家都很熟悉，但是对于负数、实数的取余运算，确实给人很新鲜的感觉。于是我对此进行了一些探索。我发现，这里面还是颇有一点可以探索的东西的。
探究
定义1）:
a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r
那么对于负数，是否可以沿用这样的定义呢？我们发现，假如我们按照正数求余的规则求 (-7) mod 3 的结果，就可以表示 -7 为 (-3)* 3 +2。其中，2是余数，-3是商。
语言 | 语句 | 输出 |
C++（G++ 编译） | cout << (-7) % 3; | -1 |
Java（1.6） | System.out.println((-7) % 3); | -1 |
Python 2.6 | (-7) % 3 | 2 |
(-7) mod 3 | 2 | |
(-7) mod 3 | 2 |
百家争鸣的。看来我们不能直接把正数的法则加在负数上。实际上，在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所接受，大家大多认可的是下面的这个定义2。
a 与d 是整数，d 非零，那么余数 r
a = qd + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。
正余数和负余数。通常，当除以d 时，如果正余数为r1，负余数为r2，那么有
r1 = r2 + d
对负数余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。
定义2，7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2，所以余数为 1 或 -2。
语言 | 语句 | 输出 |
C++（G++ 编译） | cout << 7 % (-3); | 1 |
Java（1.6） | System.out.println(7 % (-3)); | 1 |
Python 2.6 | 7 % (-3) | -2 |
7 mod (-3) | -2 | |
7 mod (-3) | -2 |
从中我们看到几个很有意思的现象：
- 物以类聚？联想一下，Google 一直支持 Python，Python 也颇有 Web 特色的感觉，而且 Google Application Engine 也用的 Python，国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。
- 尽量让商更大一些。比如在 (-7) mod 3中，他们以 -2 为商，余数为 -1。在 Python 和 Google 计算器中，尽量让商更小，所以以 -3 为商。在 7 mod (-3) 中效果相同：C++ 选择了 3 作为商，Python 选择了 2 作为商。但是在正整数运算中，所有语言和计算器都遵循了尽量让商小的原则，因此 7 mod 3 结果为 1 不存在争议，不会有人说它的余数是-2。
- 如果按照第二点的推断，我们测试一下 (-7) mod (-3)，结果应该是前一组语言（C++，Java）返回 2，后一组返回 -1。（请注意这只是假设）
于是我做了实际测试：
语言 | 语句 | 输出 |
C++（G++ 编译） | cout << -7 % (-3); | -1 |
Java（1.6） | System.out.println(-7 % (-3)); | -1 |
Python 2.6 | -7 % (-3) | -1 |
-7 mod (-3) | -1 | |
-7 mod (-3) | -1 |
结果让人大跌眼镜，所有语言和计算机返回结果完全一致。
总结
我们由此可以总结出下面两个结论：
- 同号的两个整数，其取余结果没有争议，所有语言的运算原则都是使商尽可能小。
- 使商尽可能大，很多新型语言和网页计算器的原则是使商尽可能小。
拓展
拓展时间。对于实数，我们也可以定义取模运算（定义3）。
当 a 和 d 是实数，且d 非零, a 除以 d 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数。但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商 q 和唯一的实数 r 使得: a = qd + r, 0 ≤ r < |d|. （转自维基百科）
很多程序语言都实现了这个定义。至于哪些程序语言实现了这个定义，就留给大家自己探究吧！
语言环境不同，“%”所代表的意义也不一样。在C++和Java中，“%”代表的是“取余”，而在Python中，“%”代表的是“取模”。注意，“取余”和“取模”并不一样，因此不能像答主那样在不同的环境下测试对负数取模后的答案。实质上只是你在C++和Java中进行了“取余”运算，而在Python和计算器中进行了“取模”运算。对正数进行取余和取模两种运算，其结果是相同的。而对于负数，取余和取模的结果则是不相同的。
