信号：
1、本课中信号s(t)默认是实函数，代表电压随时间的变化；
2、一些简单信号：正弦、矩形、sinc、直流、冲激；
3、瞬时功率、功率和能量；
4、功率是s(t)^2的平均高度、能量是s(t)^2的面积；
5、能量和功率的性质：非负性、平方比例性、时移不变性、不满足叠加性(两信号正交时满足叠加性)。
复信号：
1、复数是一对实数，复信号是一对实信号；
2、傅氏变换是x(t) 与exp(j2πft)的内积，注意复内积exp(j2πft)需要取共轭；
3、无线通信发射端通常包含一个I/Q调制器，输入两个低频基带信号，输出一个高频带通信号，这两个输入构成一个复数信号I(t)+jQ(t)。相应地，I/Q解调器的两路输出也构成一个复信号。
4、I/Q调制器、解调器的理论基础是带通信号的基带等效，建立这种基带等效时，所引入的解析信号、复包络等是复信号。
5、复单频信号：z在单位圆上匀速运动。exp(j200πt)的频率是+100Hz；exp(-j200πt)的频率是-100Hz；正转是正频率；反转是负频率。
6、实单频信号(正弦信号)可分解为一对共轭的复单频信号之和：s(t) = cos(t) = (exp(jt) +
exp(-jt))/2。
7、任意信号s(t)一定是某一个复信号z(t)的实部。实信号s(t)是由一对共轭的复信号组成。
8、复信号是一对实信号，其能量或者功率定义为这一对实信号各自的能量或功率之和(因为正交)。
9、复信号的能量及功率的性质与实信号相同：非负性、平方比例性、时移不变性、不满足叠加性
10、例题的启示：两个信号正交时和的功率等于功率的和(帕塞瓦尔定理)
傅里叶变换：
1、定义，f和w的积分区别，含有2*pi的系数。通信中常使用f，
2、一个性质：一个域中的原点值是另外一个域中的面积；应用快速验证变换的正确性；
3、rect(t/T) <==>
T*sinc(f*T) sinc(t/T) <==> T*rect(f*T)
要点：sinc前面乘的是矩形的面积，括号内t或f前乘的是矩形的宽度。时域越宽，频域越窄，反之亦然。取极限可知直流的傅氏变换是冲激，冲激的傅氏变换是矩形。
4、时移与频移特性。
5、共轭与镜像。 时域镜像则频域镜像，时域共轭则频域镜像共轭。
6、由以上可推知：实信号的频谱满足共轭对称性。
将X(f)表示成幅值和相角的形式可知模值是偶函数，相角是奇函数。
7、微分性质，时域微分对应频域乘以j2*pi*f频域微分对应时域乘以-j*2*pi*t
8、复单频信号、正余弦信号的功率与频率和相位无关。幅值一定的电磁波信号，功率恒定，与频率和相位无关。
9、性质应用：位移性质可用于估计时频偏、线性性质可用于信号的合成与分解、微分积分性质可用于解微分积分方程、卷积性质可用于设计滤波器和频谱分析。
10、补充性质：实函数傅里叶变换的奇偶虚实特性：
实函数的傅里叶变换：实部为偶函数，虚部为奇函数；模值为偶函数，相角为奇函数。
实偶函数的傅里叶变换为实偶函数，实奇函数的傅里叶变换为虚奇函数。
内积：
1、实信号和复信号内积的定义
2、傅里叶变换的实质是信号与傅里叶变换核的内积。也就是说傅里叶变换是内积定义的。
3、性质：时域内积==频域内积
4、内积为零称之为正交。由于时域内积等于频域内积，因此如果两个信号在时域正交在频域也正交
5、例子：时分正交、频分正交、码分正交
6、信号自身的能量是信号与其自身的内积，根据时域内积等于频域内积，因此能量即可在时域计算，也可在频域计算：帕赛瓦尔定理。
7、sinc函数的能量可变换到频域进行能量计算，因为频域为矩形信号，容易计算。
8、不同信号之间的内积也有能量性质，称之为互能量
9、复信号之间的互能量交换次序之后满足共轭关系，实信号交换次序不改变互能量，自能量是互能量在信号相等时的特例。
10、两个信号之和的能量是各自能量之和再加上互能量。可能增强也可能减弱，关键在于互能量的正负。
柯西-许瓦兹不等式：
1、柯西-许瓦兹不等式是一个关于内积大小的不等式：互能量的模值小于等于自能量的几何平均。
2、归一化相关系数：两个信号的能量归一化之后的内积。
3、归一化相关系数反映一个信号包含了多少另一个信号。
能量信号的相关函数：
1、相关、内积、投影经常是同义词或近义词，两信号的内积值反映了他们是否包含某些共同成分。
2、相关器有两个输入、一个输出，输入是波形，输出是标量(实数或复数)
3、将信号x(t)在时间上错开为x(t+t0),再求与y(t)的内积，所得结果称为相关函数。
4、相关函数的用途：
①能量或功率谱密度求解方法之一是借助相关函数来求解
②可用于通信系统信号同步
③相关函数反应两个信号在不同延迟关系下是否具有正交性，而正交性代表着信号之间是否存在干扰，因此包括CDMA、MIMO信道估计在内的很多场景，不同信号之间的互相关特性如何是决定系统性能的关键因素。
5、定义：相关函数是两个信号时间错开之后的内积，不同信号之间称之为互相关函数，相同信号之间称之为自相关函数。
6、相关函数的性质(对称性)：
① x(t)和y(t)的互相关函数具有调换次序的共轭对称性，也即调换x和y的互相关次序之后的共轭镜像等于原来未调换次序前的互相关函数。(交换的共轭对称性)
② 自相关函数具有共轭对称性，即相关函数的结果共轭镜像之后是其本身。(自身的共轭对称性)
③实信号的互相关函数具有对称性，也即调换x和y的互相关次序之后的镜像等于原来未调换次序前的互相关函数。(交换的镜像)
④实信号的自相关函数是偶函数，即相关函数的结果镜像之后是其本身。(自身的镜像)
7、相关函数的性质(原点自/互能量性)：自/互相关函数在原点处的值是自/互能量(互能量与互相关函数，相关系数与相关函数)
8、相关函数的性质(有界性)：
①根据许瓦兹不等式，内积的模值不超过自能量的几何平均。(有界性)
②自相关函数在原点时值最大。为信号的自能量。(函数本身的有界性)
能量谱密度：
1、能量谱密度就是能量在频域的密度，与之相对应的，能量在时间上的密度就是功率。功率的本意就是能量的时间密度。
2、
信号的波形x(t),y(t)<==> 在频域表现为X(f),Y(f)
信号的自相关函数Rx(tx)<==> 信号的能量谱密度|X(f)|^2
互相关函数Rxy(tx) <==> 互能量谱密度X(f)*conj(Y(f))
3、能量信号x(t)的能量谱密度Ex(f)是其总能量Ex在频率轴上的分布密度，总能量是能量密度的积分(面积)。
4、能量信号x(t),y(t)的互能量谱密度Exy(f)是其互能量Exy在频率轴上的分布密度，其积分是互能量(面积)。
5、数学定义：互能量谱密度Exy(f)
= X(f)*conj(Y(f))
自能量谱密度 Ex(f)
= |X(f)|^2
6、帕赛瓦尔定理：自能量是能量谱密度的积分，互能量是互能量谱密度的积分
7、互相关函数的傅氏变换是互能量谱密度，自相关函数的傅氏变换是能量谱密度(可进行积分证明)
功率信号的相关函数：
1、(互)能量与(互)功率的基本关系：只差一个时间系数的关系。能量是求面积(积分)，功率是求高度(时间平均)
2、真实信号时间有限，能量和功率因为只差一个系数，在信号处理中并无本质差别，不需刻意区分
3、课程中为了数学处理方便，将真实信号建模为数学函数时，默认定义域为正负无穷，由于系数出现了无穷大，对于能量信号，无穷时间内的平均功率为零，所以谈论功率是没有意义的。对于功率信号，无穷时间内的总能量是无穷，所以谈论能量也是没有意义的。导致只能谈论其中的一个，于是信号分成了能量信号和功率信号。数学中无穷大不存在，都按照极限来处理。无穷时间下的功率、能量先是按照有限时间[-T/2,T/2]来计算，然后取极限T趋向于无穷大。
4、相关函数：功率信号的相关函数是求平均高度，也即时间平均。跟计算能量功率取极限的方式相同。
5、功率信号相关函数的性质(对称性)：
①复信号互相关函数的交换共轭对称性
②复信号自相关函数的自身共轭对称性
③实信号互相关函数的交换对称性
④实信号自相关函数的自身对称性(偶函数)
6、功率信号相关函数的性质(原点自/互功率性)：功率信号的自/互相关函数在原点处的值是自/互功率(互功率与功率信号的互相关函数，相关系数与相关函数)
7、功率信号的相关函数的性质(有界性):
①互相关函数的模值不超过两个自功率的几何平均
②自相关函数的模值不超过功率
功率谱密度：
1、能量信号的能量谱密度是相关函数的傅氏变换。功率信号的相关函数、功率谱密度在本质上是能量信号的相关函数、能量谱密度除以T，所以功率信号的功率谱密度自然也是相关函数的傅氏变换。
2、互功率谱密度的定义、自功率谱密度的定义
3、互功率谱密度的积分是互功率，功率谱密度的积分是功率。
4、sinc与矩形是傅里叶变换对，sinc的平方与三角函数是傅里叶变换对。
信号的带宽：
1、实信号的带宽只按照正频率部分计算
2、不区分正负频率的理由是50Hz的正弦波没有正负频率的概念；
区分正负频率的理由是50Hz的正弦波它分明就是频率一正一负两个复单频信号组成的。
3、实信号的功率(能量)谱密度是偶函数，单边谱密度是将双边谱密度的正负频率部分合并：
4、带宽的含义是：单边谱密度的宽度。
5、基带信号(信号的能量和功率集中在f=0附近)和频带信号(信号的能量和功率集中在fc附近)
6、带宽是频谱的宽度，有多种定义:
绝对带宽(理想模型)、主瓣带宽、
3dB带宽、等效矩形带宽
7、信号的平方、正弦调制之后绝对带宽加倍。
线性时不变系统：
1、“线性时不变”
l 没有输入就没有输出(零状态响应)
l 和的输出是各自输出之和(线性)
l 输入推迟则输出也推迟(时不变)
希尔伯特变换与解析信号：
1、希尔伯特变换：实信号的希尔伯特变换，滤波器冲激响应是h(t)=1/pi/t;频域传递函数H(f)=-j*sgn(f)
2、性质：偶函数的希尔伯特变换是奇函数，奇函数的希尔伯特变换是偶函数，与原函数的正交性。
3、能量谱密度：希尔伯特变换不改变能量谱密度，不改变自相关函数。
4、解析信号：实信号x(t)的解析信号定义为z(t)
= x(t) + j*H[x(t)],
5、z(t)相当于x(t)通过了一个特定滤波器之后的输出，滤波器传递函数在正频部分恒为2，负频部分恒为0
6、因此解析信号的频谱为Z(f)在正频部分为2X(f),负频部分为0，功率谱密度为正频部分为原来的4倍
7、实信号m(t)cos(2*pi*fc*t)的希尔伯特变换为m(t)sin(2*pi*fc*t)，解析信号为m(t)*exp(j*2*pi*fc*t)
带通信号的复包络：
1、每个带通信号都对应有复包络xL(t)
2、复包络xL(t)可以调制成带通信号
3、傅氏变换和功率谱密度关系
带通信号的表示：
1、复包络的同相分量、正交分量、包络、相位
2、带通信号的三种表示方式
1 可表示为复包络调制到载波上之后取实部
2 可以表示为同相分量乘以cos，减去正交分量乘以sin
3 可以表示为幅值和相位受到调制的cos函数
3、I/Q调制器：任何带通信号都可以通过I/Q调制器来产生。
4、I/Q解调器：给定带通信号，可用I/Q解调器来取出同相、正交分量
5、参考载波：同一带通信号在不同参考载波下有不同的复包络，参考载波的不同相位对应复包络的旋转
带通系统的等效基带分析：
1、带通信号通过带通系统成为另一个带通信号==>复包络通过等效基带系统成为另一个复包络
