一个有向图，由（V，E）组成，其中V是顶点的集合，E为联结各顶点的边，每条边e可能有相应的权重w。
图的表示方式有两种：邻接矩阵和邻接表。其中对于节点数较少的图，用邻接矩阵表示较为方便，计算时也能充分应用矩阵计算的一些优势。但是当节点数特别大，需要借助map-reduce计算时，用邻接表是更为合适的选择。每一行数据，key为NodeId，值为与这个节点邻接的所有节点的AdjacentList（可能还包含了每一个节点的权重）。
有向图的最短路径，即从源点s出发，到达图上任意结点的最短路径。
图论中最经典的最短路径算法即Dijkstra算法，它采用了贪心的策略，利用宽度优先一层层搜索，直到遍历所有结点或已经找到最短路径。算法伪代码如下：
Dijkstra(G,w, s)
d[s] ← 0
for all vertex v ∈ V do
d[v] ← ∞
Q ← {V }
while Q != ∅ do
u ←ExtractMin(Q)
for all vertex v ∈ u.AdjacencyList do
if d[v] > d[u] + w(u, v) then
d[v] ← d[u] + w(u, v)以下图的例子来说明这个算法：
n1为起始点。首先标记它到自已的距离为0，然后算法把所有节点(n2~n5)加入到优先队列Q中，并标记n1到这些点的距离为∞。
进入循环：
第一次迭代，从Q中取出最近的扩张点n1，找到n1的邻接点n2, n3，并更新到n2, n3的距离分别为10和5。
第二次迭代，从Q中取出最近的扩张点n3，找到n3的邻接点n2, n5, n4，这时发现n1经n3到n2的距离比直接到n2的距离要短，于是更新到n2的距离为8，到n5的距离为7，到n4的距离为14。
第三次迭代，从Q中取出最近的扩张点n5...
当所有点都搜索过后，算法终止，此时已经找到n1到各点的最短距离。
Dijkstra算法关键的一点是优先队列Q（实际实现可以用数组），它保存了全局的从源点出发最近的结点。而map-reduce则无法做到这一点（其实也不是做不到，就是比较麻烦，需要用distributed cache）。
基于map-reduce的并行算法跟Dijkstra算法有点类似，它也基于Dijkstra的迭代思想，伪代码如下：
class Mapper
method Map(nid n, node N)
d ← N.Distance
Emit(nid n,N) //Pass along graph structure [1]
for all nodeid m ∈ N.AdjacencyList do
Emit(nid m, d+w) //Emit distances to reachable nodes [2]
class Reducer
method Reduce(nid m, [d1, d2, . . .])
dmin←∞
M ← ∅
for all d ∈ counts [d1, d2, . . .] do
if IsNode(d) then
M ← d //Recover graph structure
else if d < dmin then //Look for shorter distance
dmin ← d
M.Distance← dmin //Update shortest distance
Emit(nid m, node M)
它每次迭代执行一个map-reduce job，并且只遍历一个节点。在Map中，它先输出这个节点的完整邻接节点数据，即[1]。然后遍历该节点的邻接节点，并输出该节点ID及权重。在Reduce中，对当前节点m，遍历map的输出权重，若比当前的路径值小，则更新。最后输出该节点的路径值及完整邻接节点数据，作为下一次迭代的输入。
实现上有个细节需要注意的是，map的输出有两种类型的数据：邻接节点数据和权重数据，这可以通过一个包装类，并设置一个dataType变量来实现。
当遍历完所有的节点之后，迭代就终止了。
这个实现还有一个小问题就是，不知道完整的最短路径，这可以在[2]中修改一下Map的输出来实现。
下面是一个例子，邻接节点的数据格式为： nodeId --> distance | adj1: w1, adj2: w2...
原始输入为：
n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20
n2 --> ∞ | n3: 5, n4:8
n3 --> ∞ | n4:2
n4 -> ∞ |第一次迭代：
Map：
n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20
n2 --> ∞ | n3: 5, n4:8
n3 --> ∞ | n4:2
n4 -> ∞ |
n2 --> 6
n3 --> 15
n4 --> 20Reduce：
n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20
n2 --> 6 | n3: 5, n4:8
n3 --> 15 | n4:2
n4 --> 20 |第二次迭代：
Map：
n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20
n2 --> 6 | n3: 5, n4:8
n3 --> 15 | n4:2
n4 --> 20 |
n3 --> 11
n4 --> 14Reduce：
n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20
n2 --> 6 | n3: 5, n4:8
n3 --> 11 | n4:2
n4 --> 14 |第三次迭代：
Map：
n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20
n2 --> 6 | n3: 5, n4:8
n3 --> 11 | n4:2
n4 --> 14 |
n4 --> 13
Reduce：
n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20
n2 --> 6 | n3: 5, n4:8
n3 --> 11 | n4:2
n4 --> 13 |第四次迭代：
Map：
n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20
n2 --> 6 | n3: 5, n4:8
n3 --> 11 | n4:2
n4 --> 13 | Reduce：
n1 --> 0 | n2: 6, n3: 15, n4:20
n2 --> 6 | n3: 5, n4:8
n3 --> 11 | n4:2
n4 --> 13 |迭代终止
