最小生成树入门
文章目录
- 最小生成树入门
- 一、什么是最小生成树
- 1.是一棵树
- 2.是生成树
- 3.边的权重和最小
- 4.最小生成树定义
- 二、Kruskal算法
- 三、Prim算法
- 具体实现
- Prim算法和Kruskal算法的区别对比
一、什么是最小生成树
1.是一棵树
- 无回路
- n个顶点一定有n-1条边
2.是生成树
- 包含全部顶点
- n-1条边都在图里
3.边的权重和最小
4.最小生成树定义
给定一张边带权的无向联通图G = (V,E), n = |V|,m=|E|。由V中全部顶点和E中n-1条边构成的无向联通子图被称为G的一棵生成树。边的权值之和最小的的生成树被称为无向图G的最小生成树(Minimum Spanning Tree,MST)
二、Kruskal算法
其基本思想是:假设连通网G=(V,E),令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{}),图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边,若该边依附的顶点分别在T中不同的连通分量上,则将此边加入到T中;否则,舍去此边而选择下一条代价最小的边。依此类推,直至T中所有顶点构成一个连通分量为止。
通俗点讲:Kruskal算法在找最小生成树结点之前,需要对边权重从小到大进行排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中(如果加入时产生回路就跳过这条边,加入下一条边),当加入的边数为n - 1条后,就找到了这个连通图的最小生成树
三、Prim算法
在任意时刻,设已经确定属于最小生成树的结点集合为T,剩余节点集合为S,每次找到最小的一条边(x,y,z),满足x∈S,y∈T。即两个端点分别属于S,T的权值最小的边,然后把点x从S中删除加入到集合T中,并把z累加到答案中。
通俗点讲:Prim算法从任意一个顶点开始生成最小生成树,每次选择一个与当前小树最近的一个顶点,并将这个顶点加入到小树中。然后更新这棵小树到其他点的最近距离。
具体实现
1.选用图中的任意一个顶点V0,从V0开始生成最小生成树:
2.初始化d[v0]=0,其他点的距离值d[i]=正无穷;其中d [ i ] 表示当前这棵小树到其他点的最小距离值。
3. 经过N次如下步骤操作,最后得到一个含N个顶点,N-1条边的最小生成树:
1>选择一个未标记的点K,并且d [ k ] 的值是最小的;
2>标记点K进入这棵小树;
3>以K为中间点,更新这棵小树到未标记点的距离的最小值;
4.得到最有生成树T。
时间复杂度为O(n^2),可以用二叉堆优化到O(m log n).
主要用于稠密图(边数特别多的)
Prim算法和Kruskal算法的区别对比
从策略上来说,Prim算法是直接查找,多次寻找邻边的权重最小值,而Kruskal是需要先对权重排序后查找的。 所以说,Kruskal在算法效率上是比Prim快的,因为Kruskal只需一次对权重的排序就能找到最小生成树,而Prim算法需要多次对邻边排序才能找到