自相关函数
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自相关函数，信号处理、时间序列分析中常用的数学工具，反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度。
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[编辑] 定义
自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于自协方差。
[编辑] 统计学
将一个有序的随机变量系列与其自身相比较，这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的系列，都与其自身相似，即在此情况下，自相关函数值最大。如果系列中的组成部分相互之间存在相关性（不再是随机的），则由以下相关值方程所计算的值不再为零，这样的组成部分为自相关。
......... 期望值。
........ 在t(i)时的随机变量值。
........ 在t(i)时的预期值。
.... 在t(i+k)时的随机变量值。
.... 在t(i+k)时的预期值。
......... 为方差。
所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大相关值，-1则为最大不相关值。
[编辑] 信号处理
在信息分析中，通常将自相关函数称之为自协方差方程。 用来描述信息在不同时间
的，信息函数值的相关性。
，其中“*”是 卷积算符，
为取 共轭。
因为实数的共轭等于自己本身，所以很多课本上出现的公式是没有共轭的。
Because the real domain's conjugation is equal to itself and there are no conjugate symbol in many textbooks.
[编辑] 自相关函数的性质
以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。
- 对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数
当f为 实函数时，有：
当f是 复函数时，该自相关函数是 厄米函数，满足：
其中星号表示 共轭。
- 连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ，均有 。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。
- 周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。
- 两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。
- 由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。
- 连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。
- 维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：
- 实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：
[编辑] 自相关函数举例
白噪声的自相关函数为δ函数：
