我最近复习一道困难程度的算法题，发现了许多有趣之处。在借鉴了他人解法后，发现从最简单的情况反推到原题是一种解锁新进阶的感觉。从递归到动态规划，思维上一步一步递进，如同一部跌宕起伏的小说，记录下来和诸君共赏之。

题目如下：

给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 '.' 和 '*' 的正则表达式匹配。

'.' 匹配任意单个字符
'*' 匹配零个或多个前面的那一个元素
所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。

说明:

s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。
p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。
示例 1:

输入:
s = "aa"
p = "a"
输出: false
解释: "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。
示例 2:

输入:
s = "aa"
p = "a*"
输出: true
解释: 因为 '*' 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素, 在这里前面的元素就是 'a'。因此，字符串 "aa" 可被视为 'a' 重复了一次。
示例 3:

输入:
s = "ab"
p = ".*"
输出: true
解释: ".*" 表示可匹配零个或多个（'*'）任意字符（'.'）。
示例 4:

输入:
s = "aab"
p = "c*a*b"
输出: true
解释: 因为 '*' 表示零个或多个，这里 'c' 为 0 个, 'a' 被重复一次。因此可以匹配字符串 "aab"。
示例 5:

输入:
s = "mississippi"
p = "mis*is*p*."
输出: false

来源：力扣（LeetCode）

这是一道关于字符串匹配的问题，其中匹配字符串里面可能含有两种特殊符号「.」和「*」。

说时候刚拿到这道题的时候我很懵逼，直接动手分析到带有「*」符号的时候，感觉不同情况挺难分析下去的，甚至陷入了思维的僵局。

如果能让问题简化一下该多好呀，没错，如果我们把问题变成我们以前做过的问题或者容易做的问题，是否能从中发现新的思路？

假设问题变成：求两个纯字符串进行匹配。实现代码可以如下：

package main

func isMatch(text string, pattern string) bool {
	if pattern == "" {
		if text != "" {
			return false
		} else {
			return true
		}
	}
	first_match := false

	if pattern[0] == text[0] {
		first_match = true
	}

	return first_match && isMatch(text[1:], pattern[1:])
}

func main() {
	text := "abc"
	pattern := "ab"
	isMatch(text, pattern)
}

这里用到了递归，之所以这么处理，是为了后续迭代。
那么如果再增加一个条件，把「.」符号加上，如果是带有「.」符号的字符串去匹配一段字符串呢？

需要在实现的时候考虑第一个字节是否是该特殊符号

func isMatch2(text string, pattern string) bool {
	if pattern == "" {
		if text != "" {
			return false
		} else {
			return true
		}
	}
	first_match := false

	if pattern[0] == text[0] || pattern[0] == '.' {
		first_match = true
	}
	return first_match && isMatch2(text[1:], pattern[1:])
}

能解决「.」符号的情况，针对「*」符号的情况，我们可以进一步思考。
可能性：

  • 1.匹配0次。
  • 2.匹配1次。
    具体代码如下:
func isMatch(text string, pattern string) bool {
    if pattern == "" {
		if text != "" {
			return false
		} else {
			return true
		}
	}
	first_match := false
	
    text_bool := false
	if text != "" {
	    text_bool = true
	}
	
	if text_bool && (pattern[0] == text[0] || pattern[0] == '.') {
		first_match = true
	}
	
	if len(pattern) >=2 && pattern[1] == '*' {
	    return isMatch(text, pattern[2:]) || first_match && isMatch(text[1:], pattern)
	} else {
        return first_match && isMatch(text[1:], pattern[1:])
    }
}

这段代码都是用递归实现的，但是递归的时间复杂度消耗更大，完全可以考虑将每一次递归的结果保存下来，于是我们又可以往动态规划的方向思考。
选择dp保存结果，dp[i][j]表示前i个字符串被j个字节pattern匹配的结果。

func isMatch(s string, p string) bool {
	memory := make(map[string]bool)
	return dp(0, 0, memory, s, p)

}

func dp(i int, j int, memory map[string]bool, s string, p string) bool {
	iToStr := strconv.Itoa(i)
	jToStr := strconv.Itoa(j)
	keyStr := iToStr + "," + jToStr
	if _, ok := memory[keyStr]; ok {
		return memory[keyStr]
	}
	if j == len(p) {
		return i == len(s)
	}

	first := (i < len(s)) && (p[j] == s[i] || p[j] == '.')
	var ans bool
	if j <= (len(p) -2) && p[j+1] == '*' {
		ans = dp(i, j+2, memory,s, p) || first && dp(i+1, j, memory, s, p)
	} else {
		ans = first && dp(i+1, j+1, memory, s, p)
	}
	memory[keyStr] = ans
	return ans
}

反思：还有无更好的解法呢？比如把循环放到外层，而不是封装成dp函数？