1. 问题描述:机器人一次可以走1m,2m或3m,那么机器人走n米有多少种走法?
2. 问题分析:
用a(n)来表示机器人走n米的走法总数,
那么,n<=0, a(n)=0;
n==1, a(n)=1;
n==2, a(n)=2: 1+1, 2;
n==3, a(n)=4: 1+1+1, 1+2, 2+1, 3;
但如此枚举下去不是办法,那么我们换个角度思考: 机器人走完全程的前一次运动时(注:机器人一次可以走1m,2m或3m),它离终点还有多远:
1. 还有1m, 进行一次走1m的运动就能到达终点。
2. 还有2m, 进行一次走2m的运动就能到达终点。
3. 还有3m, 进行一次走3m的运动就能到达终点。
这样一来的话,我们可以知道:a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n+3), 即走n米的走法总数 = 走n-1米的走法总数 + 走n-2米的走法总数 + 走n-3米的走法总数
C语言实现:(动态规划——自底向上(迭代法))
// Hello, i'm 九院干干
/*
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+ 关键点:a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3)
+ 此版本借助了辅助n个空间,说明该算法还
+ 可以进化
+ 时间复杂度O(n), 空间复杂度O(n)
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define size 100
int RobotWalk(int n,int a[])
{
int i,x;
if(n<=0) return 0;
if(n==1 ||n==2) return n;
if(n==3) return 4;
a[1] = 1;
a[2] = 2;
a[3] = 4;
for(i=4; i<=n; i++)
a[i] = a[i-1] + a[i-2] + a[i-3]; // 计算从小到大向前推进,计算a[4]->a[5]->...->a[n]
return a[n];
}
void main()
{
int n, KindSum;
int a[size];
printf("请输入机器人要走的路程总长度:");
scanf("%d",&n);
KindSum = RobotWalk(n,a);
printf("机器人的走法有%d种\n", KindSum);
system("pause");
}
运行结果:
进一步优化:(上面的算法的空间复杂度为O(n),改进后,只需3个辅助空间)
C语言实现:
/*
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
+ 这个算法版本就是利用3个存储单元,存储计算米数
+ 增加一个长度的三个历史走法总数。
+
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int RobotWalk(int n)
{
int i, count, temp;
int a[3] = {1,2,4};
if(n<=0) return 0;
if(n==1) return a[0];
if(n==2) return a[1];
if(n==3) return a[2];
count= 0;
/*
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
+下面这个for循环是关键,count用来计数,以使数组a中每次只更新最老的历史数据,
+ 即最新的数据替换最老的数据,例如最先更新最老数据a[0],a[0]成为最新数据;之后
+ 更新最老数据a[1], a[1]成为最新数据;然后更新最老数据a[2],a[2]成为最新数据。
+ 此过程不断循环,直到计算出走n米的走法总数。
+
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/
for(i=4; i<=n; i++)
{
temp = a[2] + a[1] + a[0];
a[count] = temp;
count = (count+1)%3; //循环更新count,使其取值为{0,1,2},对应于数组a的下标
}
return temp;
}
void main()
{
int n, KindSum;
printf("请输入机器人要走的路程总长度:");
scanf("%d",&n);
KindSum = RobotWalk(n);
printf("机器人的走法有%d种\n", KindSum);
system("pause");
}
运行结果:
除了运用自底向上的思维,当然还可以使用自顶向下的解法。
C语言实现:(动态规划——自顶向下(递归的方式))
// Hello, i'm 九院干干
/*
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
+ 该算法是采用递归的思想,但需要记录计算过的子问题,以避免重复计算子问题。
+ 因此,若是碰到曾经计算过得问题就直接返回其解。
+
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define size 1000
int RobotWalk(int n, int a[])
{
if(a[n]!=0) return a[n]; //返回计算过的子问题的解
if(n<=0) return 0;
if(n==1 || n==2) return n;
if(n==3) return 4;
else
{
a[n] = RobotWalk(n-1,a) + RobotWalk(n-2,a) + RobotWalk(n-3,a); // 递归实现 a[n] = a[n-1]+a[n-2]+a[n-3]
return a[n];
}
}
void main()
{
int n, KindSum;
int a[size] = {0}; //对数组元素初始化为0
printf("请输入机器人要走的路程总长度:");
scanf("%d",&n);
KindSum = RobotWalk(n,a);
printf("机器人的走法有%d种\n", KindSum);
system("pause");
}
运行结果:
Python实现:(自底向上 / 迭代法):
# Hello, i'm 九院干干
#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
# 此算法的辅助空间为3,则空间复杂度可以看成O(1)
# 自底向上(迭代法)
#++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
def RobotWalk(n):
a= [1,2,4]
if n<=0 : return 0
if n==1 or n==2 : return n
if n==3 : return 4
else:
count = 0
for i in range(4,n+1):
temp = a[2] + a[1] +a[0]
a[count] = temp
count = (count+1)%3
return a[count-1]
if __name__ == '__main__':
n = int(input("请输入机器人要行走的总路程:"))
KindSum = RobotWalk(n)
print("机器人的走%d米的走法总数为:%d" %(n,KindSum))
运行结果:
Python实现:(动态规划——自顶向下(递归的方式))
def RobotWalk(n,a):
if a[n]!=0 : return a[n]
if n<=0: return 0
if n==1 or n==2: return n
if n==3: return 4
else:
for i in range(4,n+1):
a[n] = RobotWalk(n-1,a) + RobotWalk(n-2,a) + RobotWalk(n-3,a)
return a[n]
if __name__ == '__main__':
n = int(input("请输入机器人要行走的总路程:"))
a = (n+1)*[0]
KindSum = RobotWalk(n,a)
print("机器人的走%d米的走法总数为:%d" %(n,KindSum))
运行结果: