上篇文章中，我们学习了如何对和函数，差函数和常数乘函数进行求导。现在考虑
products uvquotions uv.
其中u,v可以看作对x可导的函数。
因为和的导数时导数的和，自然而然我们猜想，乘积的导数可能等于导数的乘积。然而，通过一个简单的例子我们就看出这个猜想不正确。例如，x3,x4的乘积是x7，所以它的导数是7x6，但是按照猜想得出的导数是3x2⋅4x3=12x5。这表明我们的初步猜想不正确。而正确的形式比较奇怪。
5乘法法则
ddx(uv)=udvdx+vdudx.(1)
用口头语言来记忆就是：两个函数乘积的导数等于第一项乘以第二项的导数加上第二项乘以第一项的导数。为了证明它，考虑y=uv，让x有一个小的增量Δx，那么变量u,v,y对应的改变量分别为Δu,Δv,Δy
y+ΔyΔyΔyΔx===(u+Δu)(v+Δv)=uv+uΔv+vΔu+ΔuΔv,(y+Δy)−y=uΔv+vΔu+ΔuΔv,uΔvΔx+vΔuΔx+ΔuΔvΔx.
取
Δx→0时的极限得
dydx=udvdx+vdudx+0⋅dvdx
和(1)式相等。这里我们利用了Δx→0时，Δu→0这个事实。这是因为u是连续的。
例1：首先用x3,x4测试公式(1)。
ddx(x3⋅x4)==x3ddxx4+x4ddxx3x3⋅4x3+x4⋅3x2=7x6.
考虑一个更复杂的例子y=(x3−4x)(3x4+2)：
dydx====(x3−4x)ddx(3x4+2)+(3x4+2)ddx(x3−4x)(x3−4x)(12x3)+(3x4+2)(3x2−4)12x6−48x4+9x6−12x4+6x2−821x6−60x4+6x2−8.
注意，我们也可以在开始的时候让两个因子乘开，然后求导。
y=3x7−12x5+2x3−8x
所以
dydx=21x6−60x4+6x2−8
我们没有利用乘法法则依然结局了问题，似乎法则就没存在的必要的。当因子都是多项式时的确如此，因为两个多项式的乘积依然时多项式。然而，对于更复杂的情况，尤其是因子为不同类型的函数，该法则是必不可少的。
6除法法则
ddx(uv)=vdu/dx−udv/dxv2v≠0(2)
大部分人发现操作流程比符号更容易记忆：商的导数就是分母乘以分子的导数减去分子乘以分母的导数，然后除以分母的平方。为了证明它，考虑y=u/v，x变化量为
Δx。变量u,v,y的变化量为Δu,Δv,Δy。
y+Δy=u+Δuv+Δv,Δy=u+Δuv+Δv−uv,
Δy=uv+vΔu−uv−uΔvv(v+Δv)=vΔu−uΔvv(v+Δv)
ΔyΔx=vΔu/Δx−uΔv/Δxv(v+Δv).
取Δx→0的极限，就得到公式(2)
dydx=vdu/dx−udv/dxv2.
根据v的连续性(回顾：因为v可导，所以连续)，当Δx→0时Δv→0。
例2：商y=(3x2−2)/(x2+1)的导数。
dydx===(x2+1)(d/dx(3x2−2))−(3x2−2)(d/dx)(x2+1)(x2+1)2(x2+1)(6x)−(3x2−2)(2x)(x2+1)26x3+6x−6x3+4x(x2+1)2=10x(x2+1)2.
除法法则可以扩展到法则2
ddxxn=nxn−1(3)
n为负数。为了看出是负数，我们令n=−m，其中m是正数。现在利用(2)式我们有
ddxxn==ddxx−m=ddx1xm=xm(0)−1(mxm−1)(xm)2−mxm−1x2m=−mx−m−1=nxn−1.
因此，
ddxx−1=(−1)x−2=−x−2,ddxx−2=(−2)x−3=−2x−3,etc.
因为n=0时，(3)式依然成立，所有对于所有的实数均成立。
例3：求导
y=3x2−2x3,
可以写为
y=3x2−2x−3
那么
dydx=6x+6x−4
可以重写为
dydx=6x+6x4
最好记住乘法和除法法则，并通过练习把它深深铭记在脑子里。
