二、逻辑回归
1、代价函数
可以将上式综合起来为：
其中：
为什么不用线性回归的代价函数表示呢？因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
的图像如下，即y=1时：
可以看出，当
趋于1，y=1，与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若
趋于0，y=1，此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值，同理
的图像如下（y=0）：
2、梯度
同样对代价函数求偏导：
可以看出与线性回归的偏导数一致。
推导过程：
3、正则化
正则化的目的为了防止过拟合。在代价函数中加上一项
注意j是从1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上一列1，所以乘积还是theta(0)，与feature没有关系，没有必要正则化。
正则化后的代价：
1 # 代价函数
2 def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
3 m = len(y)
4 J = 0
5
6 h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) # 计算h(z)
7 theta1 = initial_theta.copy() # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0
8 theta1[0] = 0
9
10 temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
11 J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正则化的代价方程
12 return J正则化后的代价的梯度
1 # 计算梯度
2 def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
3 m = len(y)
4 grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))
5
6 h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
7 theta1 = initial_theta.copy()
8 theta1[0] = 0
9
10 grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
11 return grad4、S型函数（即 
代码实现
1 # S型函数
2 def sigmoid(z):
3 h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化，与z的长度一置
4
5 h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
6 return h5、映射为多项式
因为数据的feature可能很少，导致偏差大，所以创造出一些组合feature
eg:映射为2次方的形式为：
代码实现：
1 # 映射为多项式
2 def mapFeature(X1,X2):
3 degree = 3; # 映射的最高次方
4 out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组（取代X）
5 '''
6 这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
7 '''
8 for i in np.arange(1,degree+1):
9 for j in range(i+1):
10 temp = X1**(i-j)*(X2**j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
11 out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
12 return out6、使用scipy的优化方法
梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数
调用scipy中的优化算法fmin_bfgs(拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno costFunction是自己实现的一个求代价的函数)，
initial_theta表示初始化的值，
fprime指定costFunction的梯度
args是其余参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))7、运行结果
data1决策边界和准确度
data2决策边界和准确度
8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
1 from sklearn.linear_model import LogisticRegression
2 from sklearn.preprocessing import StandardScaler
3 from sklearn.cross_validation import train_test_split
4 import numpy as np
5
6 def logisticRegression():
7 data = loadtxtAndcsv_data("data1.txt", ",", np.float64)
8 X = data[:,0:-1]
9 y = data[:,-1]
10
11 # 划分为训练集和测试集
12 x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)
13
14 # 归一化
15 scaler = StandardScaler()
16 scaler.fit(x_train)
17 x_train = scaler.fit_transform(x_train)
18 x_test = scaler.fit_transform(x_test)
19
20 #逻辑回归
21 model = LogisticRegression()
22 model.fit(x_train,y_train)
23
24 # 预测
25 predict = model.predict(x_test)
26 right = sum(predict == y_test)
27
28 predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1))) # 将预测值和真实值放在一块，好观察
29 print predict
30 print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) #计算在测试集上的准确度
31
32 # 加载txt和csv文件
33 def loadtxtAndcsv_data(fileName,split,dataType):
34 return np.loadtxt(fileName,delimiter=split,dtype=dataType)
35
36 # 加载npy文件
37 def loadnpy_data(fileName):
38 return np.load(fileName)
39
40 if __name__ == "__main__":
41 logisticRegression()逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
1、随机显示100个数字
我们没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下：
灰度图为：
代码实现：
1 # 显示100个数字
2 def display_data(imgData):
3 sum = 0
4 '''
5 显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可）
6 - 初始化一个二维数组
7 - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组
8 - 显示即可
9 '''
10 pad = 1
11 display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
12 for i in range(10):
13 for j in range(10):
14 display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F")) # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行
15 sum += 1
16
17 plt.imshow(display_array,cmap='gray') #显示灰度图像
18 plt.axis('off')
19 plt.show()2、OneVsAll
如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样就成了二分类问题。如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的看成另一类，以此类推。。。
可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类
3、手写数字识别
共有0-9，10个数字，需要10次分类
由于数据集y给出的是0，1，2，。。。9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理。
说一下数据集，前500个是0，500-1000是1，...，所以如下图，处理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0，500-1000行第二列是1，其余都是0。。。
然后调用梯度下降算法求解theta
代码实现：
1 # 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta
2 def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
3 # 初始化变量
4 m,n = X.shape
5 all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列
6 X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前补上一列1的偏置bias
7 class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
8 initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta
9
10 # 映射y
11 for i in range(num_labels):
12 class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
13
14 #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')
15
16 '''遍历每个分类，计算对应的theta值'''
17 for i in range(num_labels):
18 result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
19 all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中
20
21 all_theta = np.transpose(all_theta)
22 return all_theta4、预测
之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的S型函数中，每行的最大值就是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值，因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，以此类推
代码实现：
1 # 预测
2 def predict_oneVsAll(all_theta,X):
3 m = X.shape[0]
4 num_labels = all_theta.shape[0]
5 p = np.zeros((m,1))
6 X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1
7
8 h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) #预测
9
10 '''
11 返回h中每一行最大值所在的列号
12 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
13 - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
14 '''
15 p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))
16 for i in np.arange(1, m):
17 t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
18 p = np.vstack((p,t))
19 return p5、运行结果
10次分类，在训练集上的准确度：
6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
1 #-*- coding: utf-8 -*-
2 from scipy import io as spio
3 import numpy as np
4 from sklearn import svm
5 from sklearn.linear_model import LogisticRegression
6
7
8
9 def logisticRegression_oneVsAll():
10 data = loadmat_data("data_digits.mat")
11 X = data['X'] # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px
12 y = data['y'] # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
13 y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)
14
15 model = LogisticRegression()
16 model.fit(X, y) # 拟合
17
18 predict = model.predict(X) #预测
19
20 print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)
21
22 # 加载mat文件
23 def loadmat_data(fileName):
24 return spio.loadmat(fileName)
25
26 if __name__ == "__main__":
27 logisticRegression_oneVsAll()
