差错检测和纠正

物理过程所引起的差错，在某些介质中通常是突发的而不是单个的。网络设计者已经研究出两种基本的策略来处理差错。一种方法是在每一个要发送的数据块上附加足够的冗余信息，使接收方能够推导出已发出的字符应该是什么。另一种方法是只加足够的冗余位，使接收方知道差错发生，但不知道是什么样的差错，然后要求接收方重新进行传输。前者的策略是使用纠错码(error-correcting

code)，而后者则使用检错码(error-detecting code)。

1.纠错码

在了解纠错码之前，先了解一个基本概念：海明距离。通常一帧包括m个数据(报文)位和r个冗余位或者校验位。设整个长度为n(即n=m+r)，则此长度为n的单元通常被称作n位码字(codeword)。

给出任意两个码字，如10001001和10110001，可以确定它们有多少个对应位不同。在此例中有3位不同。为了确定有多少位不同，只须对两个码字做异或运算，然后计算结果中1的个数。两个码字中不同位的个数，称为海明距离(Hamming

Distance)。其重要性在于，假如两个码字具有海明距离d，则需要d个位差错才能将其中一个码字转换成另一个。

一种编码的校验和纠错能力取决于它的海明距离。为检测出d比特错，需要使用d+1的编码；因为d个单比特错决不可能将一个有效的码字转变成另一个有效的码字。当接收方看到无效的码字，它纠能明白发生传输错误。同样，为了纠正d比特错，必须使用距离为2d+1的编码，这是因为有效码字的距离远到即使发生d个变化，这个发生了变化的码字仍然比其它码字都接近原始码字。作为纠错码的一个简单例子，考虑如下只有4个有效码字的代码：

0000000000、0000011111、1111100000和1111111111

这种代码的距离为5，也就是说，它能纠正双比特错。假如码字0000000111到达后，接收方知道原始码字应该为0000011111。但是，如果出现了三位错，而将0000000000变成了0000000111，则差错将不能正确地纠正。

2.检错码

检错码有时也用于数据传输。例如，当信道为单工方式，无法要求重传的情况下，大多数采用检错码加重传的方式。

假设信道的出错是孤立的，信道的误码率为每位10-6。数据块的大小为100位。为1000位的数据块纠错，需要10个校验位；1兆的数据位将需要10000个校验位。若只需要检测一个数据块的一位错误，每块一个奇偶位就够了。每传送1000个数据块就需要额外传送一个数据块。错误检错+重传方式的整个开销，仅仅是每兆数据只有2001位，而海明码为10000位。

假若在一个块上只加一个奇偶位，那么块的长的突发错误的检测率就会很糟糕，能够检测到差错的概率只有0.5，这是难以接受的。改进的措施可以采取将每个数据块组成n位宽k行高的长方形矩阵进行发送。对每一列的奇偶位分别进行计算，附加在矩阵上，作为矩阵的最后一行，然后按行进行发送。当块到达后，接收方检测所有的奇偶位。如果其中任何一个出错了，就需要重新传送整个块。

这种方法能够检测到单个程度为n的突发错误，因为每一列只有一位改变了。然而如果第一位变反，最后一位变反，且所有其它位都正确，则长度为n+1的突发差错将不会被检测到。假如一个块被一个长的突发差错或者短的突发差错所破坏，n列中的每一列的奇偶值碰巧正确的概率为0.5，那么这个出错块被接受的概率不应该是2-n。

虽然上述方法有时已经足够了，但是在实践中，另一种方法正在被广泛使用，即多项式编码(也叫循环冗余码，或CRC码)。多项式编码是基于将位串看成是系数为0或1的多项式，一个k位帧可以看成是从Xk-1到X0的k-1次多项式的系数序列。如果采用多项式编码的方式，发送方和接收方必须事先商定一个生成多项式G(x)，生成多项式的高位和低位必须是1。要计算m位的帧M(x)的校验和，生成多项式必须比该多项式短。基本思想是：将校验和加在帧的末尾，使这个带校验和的帧的多项式能被G(x)除尽。当接收方收到带校验和的帧时，用G(x)去除它，如果有余数，则传输出错。

计算校验和的算法如下：

①.设G(x)为r阶，在帧的末尾附加r个零，使帧为m+r位，则相应的多项式是XrM(x)。

②.按模2除法用对应于G(x)的位串去除对应于XrM(x)的位串。

③.按模2减法从对应于XrM(x)的位串中减去余数。结果就是要传送带校验和的帧，叫多项式T(x)。

以下三个多项式已经成为国际标准：

三个多项式:

crc -12= x^12+x^11+x^3+x^2+x+1
crc -16= x^16+x^15+x^2+1
crc -ccitt = x^16+x^12+x^5+1

这三个多项式都包含了x+1作为基本因子。当字符串长度为6位时，使用CRC-12；其余两个多项式用在字符串长度为8位的情况下。一个16位的校验和，如CRC-16或CRC-CCITT，可以捕捉到所有的单位差错和双位差错，所有奇数位数的差错，所有长度小于或等于16位的突发差错，99.997%的长度为17位的突发差错，以及99.998%的长度为18位或多于18位的突发差错。