Bresenham画线算法原理 bresenham画线算法例题

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mob64ca14173efa 2024-09-03 20:47:41

文章标签 Bresenham画线算法原理算法学习初值四舍五入 文章分类 架构后端开发

一.DDA算法和中点画线算法的回顾

二.Bresenham画线算法

一.DDA算法和中点画线算法的回顾

1.DDA算法（Digtal Differential Analyzer)

假设两个端点坐标值是

$\left ( x_{1},y_{1} \right )$

和

$\left ( x_{2},y_{2} \right )$

，规定

$x_{1}<x_{2}$

，且

Bresenham画线算法原理 bresenham画线算法例题_Bresenham画线算法原理_04

由于对直线方程求微分，有

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}} (1)$

整理(1)可得

$y_{i+1}=y_{i}+m(x_{i+1}-x_{i})(2)$

如果我们把x的步长变得无穷小，就可以近似地估计出下一个点的坐标，从而准确地画出一条直线。但是由于设备的精度是有限的，我们需要将x或者y的点的移动变成单位步长，也就是一次移动1，算法在最大位移方向上每次走一步。也就是说，如果直线当前

$(x_{i},y_{i})$

如图中所示（m<1)，此时的最大位移方向显然是x，x每次增加一个单位，y增加m。下一个坐标应该如

$(x_{i+1},y_{i+1})$

，线段上实际点的坐标应当是

$y_{i}+m$

，在这里应当四舍五入，即int(

$y_{i+1}$

+0.5)来选取比较接近的点。类似地，如果m>1，最大位移方向显然是y方向，此时x的增量应当是1/m。

Bresenham画线算法原理 bresenham画线算法例题_学习_11

综上所述，DDA画线算法如下：

void DDALine(int x1,int y1,int x2,int y2){
    double dx,dy,e,x,y;
    dx = x2-x1;
    dy = y2-y1;
    e = (fabs(dx)>fabs(dy)?fabs(dx):fabs(dy);
    dx/=e;
    dy/=e;
    x = x1;
    y = y1;
    for(int i=0;i<=e;i++){
        SetPixel((int)(x+0.5),(int)(y+0.5));
        x+=dx;
        y+=dy;
    }
}

2.中点画线算法

假定：直线的斜率在0~1之间

实际上，对于直线扫描算法来说，已知了当前

$(x_{i},y_{i})$

，讨论下一个点的坐标，就相当于我们做一个选择题，选右上的点呢还是右边的点呢？（你妈和老婆掉水里了你先救谁？这当然要分情况讨论了。比如我妈会游泳，可以连着我老婆一起拉上来。）

所以说选点的情形是这样的：

Bresenham画线算法原理 bresenham画线算法例题_Bresenham画线算法原理_13

很显然，直线在

$x_{i+1}$

处有直线的坐标Q(x,y),我们只需要判断一下这个点(x,y)和中点的位置关系，它要是在中点上面，选上面的点，反之选下面的点。这就是中点画线法的基本思想，下面给出数学角度的讨论。假设直线的起点和中点分别是

$(x_{0},y_{0})$

和

$(x_{1},y_{1})$

，直线满足

F(x,y) = ax+by+c=0,其中a = y0-y1,b = x1-x0,c = x0y1-x1y0

从而对于直线上的点，F(x,y)=0,直线下方的点F(x,y)<0,直线上方的点F(x,y)>0

为了判断M和直线的位置关系，可以将M的坐标带入直线方程中，得到

$d = F(M) = F(x_{i}+1,y_{i}+0.5)=a(x_{i}+1)+b(y_{i}+0.5)+c$

根据d的值，当d<0时，M在Q的下方，应当取上面的点，如图所示：

Bresenham画线算法原理 bresenham画线算法例题_Bresenham画线算法原理_18

进一步讨论，可以对每一个像素都计算判别式d得到下一个像素的位置，在d<0时，考虑下一个点的位置，此时

$x_{i}$

的坐标向右移动2个单位，而中点的位置也就是

$(x_{i}+2,y_{i}+1.5)$

,如图中所示

Bresenham画线算法原理 bresenham画线算法例题_学习_21

从而我们得到判别式

$d = F(x_{i}+2,y_{i}+1.5)=a(x_{i}+2)+b(y_{i}+1.5)+c=d+a+b$

类似地，在d>=0时，应当取得下方的点，即正右的点，它y的坐标相同和左侧点相同，将M点坐标带入可得到判别式d的值：

$d = F(x_{i}+2,y_{i}+0.5)=a(x_{i}+2)+b(y_{i}+0.5)=d+a$

Bresenham画线算法原理 bresenham画线算法例题_Bresenham画线算法原理_24

初值的计算，此时第一个像素应当取左侧端点(x0,y0)，则相应地我们可以得到中点，带入判别式就可以得到初值为：

$d_{0}=F(x_{0}+1,y_{0}+0.5)=a(x_{0}+1)+b(y_{0}+0.5)+c=ax_{0}+b_{0}+c+a+0.5b=F(x_{0}+y_{0})+a+0.5b$

综上所述，实际上中点画线算法就是根据中点相对直线的位置进行选点，我们选择了直线的隐式方程得到了判别式d，然后在当前点得到了下一个点的像素选择之后进行了递推，分成了d>=0和d<0两种不同的情况，得到了误差项的递推公式。在下面代码中，为了保证整数运算，将d用2d来代替。

void MidpointLine(int x0,int y0,int x1,int y1){
	int a,b,delta1,delta2,d,x,y;
	a = y0-y1;
	b = x1-x0;
	d = 2*a+b;//设定初值，乘了个2
	delta1 = 2*a;//方便整数运算 
	delta2 = 2*(a+b);
	x = x0;
	y = y0;
	SetPixel(x,y);
	while(x<x1){
		if(d<0){//d<0时,选择右上方的点，增量是a+b，这里乘2 
			x++;
			y++;
			d+=delta2
		}
		else{//右侧点，增量2a 
			x++;
			d+=delta1;
		}
		SetPixel(x,y) //一直到最右侧的端点再结束描像素 
	}
}