psm 矫正随机试验选择偏差 41s随机误差

随机误差

在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差

1、随机误差产生的原因

• 测量装置方面的因素
• 环境方面的因素
• 人员方面的因素

2、随机误差的特征

若测量中不包含系统误差和粗大误差，则测量列中的随机误差一般具有以下特征

• 对称性：绝对值星等的正误差和负误差出现的次数相等
• 单峰型：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多（误区：单峰性$\ne$正态分布）
• 有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限（正态分布则会，所以也间接验证了“单峰性$\ne$正态分布”）
• 抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算数平均值趋于0

3、多数随机误差服从正态分布

设被测量真值位$L_0$，一系列测得值位$l_i$，则测量列中的随机误差$\delta_i$为
$\delta_i=l_i-L_0, i=1,2,...,n$
正态分布的分布密度$f(\delta)$与分布函数$F(\delta)$为
$f(\delta)=\frac{1}{\delta\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-\delta^2}{2\sigma^2}}$$F(\delta)=\frac{1}{\delta\sqrt{2\pi}}\int_{\delta}^{-\infty}e^{\frac{-\delta^2}{2\sigma^2}}d \delta$其中$\sigma$为标准差，$e$为自然对数的底。

故随机误差的数学期望为
$E=\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta}f(\delta)d{\delta}=0$方差为$\sigma^2=\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta^2}f(\delta)d{\delta}$平均误差为$\theta=\int_{-\infty}^{+\infty}|{\delta}|f(\delta)d{\delta}=0.7979\sigma\approx\frac{4}{5}\sigma$

4、算数平均值

被测量的n个测得值得代数和除n
$\bar{x}=\frac{l_1+l_2+...+l_n}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}l_i}{n}$残余误差$v_i=l_i-\bar{x}, i=1,2,...,n$

5、算术平均值的计算校核

用残余误差代数和校核算算术平均值及残余误差，其规则为

残余误差代数和应符合

• 当$\sum_{i=1}^{n}l_i=n\bar{x}$，求得$\bar{x}$为非凑整的准确数时，$\sum_{i=1}^{n}v_i=0$
• 当$\int_{i=1}^{n}l_i>n\bar{x}$，求得$\bar{x}$为非凑整的非准确数时，$\sum_{i=1}^{n}v_i>0$，其大小为求$\bar{x}$时的余数
• 当$\sum_{i=1}^{n}l_i<n\bar{x}$，求得$\bar{x}$为非凑整的非准确数时，$\sum_{i=1}^{n}v_i<0$，其大小为求$\bar{x}$时的亏数

残余误差代数和绝对值应符合

• 当n为偶数时，$\sum_{i=1}^{n}v_i\le\frac{n}{2}A$
• 当n为奇数时，$\sum_{i=1}^{n}v_i\le(\frac{n}{2}-0.5)A$

其中A为实际求得的算数平均值$\bar{x}$末位数的一个单位，例：
$若\bar{x}=0.607，则A=0.001$

6、测量列中单次测量的标准差

$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}v_i^2}{n-1}}（贝塞尔公式）$评价单次测量不可靠性的或然误差$\rho$和平均误差$\theta$
$\rho\approx\frac{2}{3}\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}v_i^2}{n-1}}\ \ \ \theta\approx\frac{4}{5}\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}v_i^2}{n-1}}$

7、测量列中算术平均值的标准差（多次测量）

$\sigma_{\bar{x}}^2=\frac{\sigma^2}{n}\Longrightarrow\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量的$\frac{1}{\sqrt{n}}$，所以测量次数n越大，精度越高，同理$或然误差 \ \ \ \ R=\rho\approx\frac{2}{3}\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}v_i^2}{n(n-1)}}$$平均误差 \ \ \ \ R=\theta\approx\frac{2}{3}\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}v_i^2}{n(n-1)}}$

8、标准差的其他计算方法

除贝塞尔公式外，还有别捷尔斯法、极差法及最大误差法

（1）别捷尔斯法

$\ \ \ \ \sigma=1.253\times\frac{\sum_{i=1}^n|v_i|}{\sqrt{n(n-1)}}$$\sigma_{\bar{x}}=1.253\times\frac{\sum_{i=1}^n|v_i|}{n\sqrt{n-1}}$其推导过程为
$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}v_i^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\delta_i^2}{n}}$可得：$\sum_{i=1}^{n}\delta_i^2=\frac{n}{n-1}\sum_{i=1}^nv_i^2$上述可近似为$\sum_{i=1}^{n}|\delta_i|\approx\sum_{i=1}^n|v_i|\sqrt{\frac{n}{n-1}}$，则平均误差为$\theta=\frac{\sum_{i=1}^{n}|\delta_i|}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n|v_i|}{\sqrt{n(n-1)}}$$\sigma=\frac{\theta}{0.7979}=1.253\theta$故$\ \ \ \ \sigma=1.253\times\frac{\sum_{i=1}^n|v_i|}{\sqrt{n(n-1)}}$$\sigma_{\bar{x}}=1.253\times\frac{\sum_{i=1}^n|v_i|}{n\sqrt{n-1}}$

（2）极差法（测量结果徐满足正态分布）——n<10可采用

$\sigma=\frac{w_n}{d_n},\ w_n=x_{max}-x_{min}\$其中，$d_n$通过查表获得

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
dn	1.13	1.69	2.06	2.33	2.53	2.70	2.85	2.97	3.08	3.17	3.26	3.34	3.41	3.47	3.53	3.59	3.64	3.69	3.74

（3）最大误差法

$\sigma=\frac{|\delta_i|_{}max}{K_n}$其中$1/{K_n}$查表可得，$\delta_i$为随机误差。但由于$\delta_i$未知，故用残余误差$v_i$代替$\sigma=\frac{|\delta_i|_{}max}{K_n^{$其中$1/K_n^{$查表可得

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20	25	30
1/Kn’	1.77	1.02	0.83	0.74	0.68	0.64	0.61	0.59	0.57	0.51	0.48	0.46	0.44

9、测量的极限误差

测量的极限误差是极端误差

• 单次测量的极限误差$\delta_{lim\ x}=\pm{t}\sigma$
• 算术平均值的极限误差$\delta_{lim\ \bar{x}}=\pm{t}\sigma_{\bar{x}},\ \sigma_{\bar{x}}=\sigma/\sqrt{n}$

10、不等精度测量

（1）权的确定方法

$P_1:P_2:...:P_m=\frac{1}{\sigma_{\bar{x_1}}^2}:\frac{1}{\sigma_{\bar{x_2}}^2}:...:\frac{1}{\sigma_{\bar{x_m}}^2}$

（2）加权算术平均值

若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果$\bar{x_1}$,$\bar{x_2}$,…,$\bar{x_m}$，设对应的测量次数为$n_1,n_2,...,n_m$，即$\bar{x_i}=\frac{\sum_{i=1}^nl_i^2}{n_i}$则$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{m}P_i\bar{x_i}}{\sum_{i=1}^mP_i}$为简化计算，加权算术平均值可表示为$\bar{x}=x_0+\frac{\sum_{i=1}^{m}P_i(\bar{x_i}-x_0)}{\sum_{i=1}^mP_i}$其中$x_0$为接近$\bar{x}_i$\的任选参考值

（3）加权算术平均值的标准差

$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^mP_iv_{x_i}^2}{m-1}}$$\sigma_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^mP_iv_{x_i}^2}{(m-1)\sum_{i=1}^mP_i}}$