算法误差修正python

数值计算中的误差

（1）误差的基本概念

误差的基本概念

实际问题的精确解与数值计算所得的近似解之间的差别称为误差

误差来源

（1）模型误差

实际问题与数学模型之差

（2）观测误差

观测所的

（3)截断误差

近似导致

（4）舍入误差

机器字长限制

（2）绝对误差与相对误差与有效数字

绝对误差

e(x*)=x-x*

绝对误差限

|e(x*)|=x-x*
x*-$\varepsilon\leqslant$x$\leqslant$x*+$\varepsilon$
x=x*$\plusmn\varepsilon$

用毫米刻度尺的米尺测量一长度为x，如读出的长度为x*=765mm，qi绝对误差限为0.5mm
准确值x： 764.5mm$\leqslant$x$\leqslant$765.5mm\\ x$$\isin$[764.5mm,765.5mm]
x=765$\plusmn$0.5mm

相对误差

因为准确值x总是未知，所以一般取相对误差为：
$e_r(x^*)=\frac{e(x^*)}{x^*}$

相对误差限(限->取模)

|$e_r(x^*)$|=|$\frac{e(x^*)}{x^*}$|$\leqslant$$\varepsilon_r$

两种误差限的关系

$\varepsilon_r$=$\frac{\varepsilon}{|x^*|}$
$\varepsilon$=|x^*|$\varepsilon$

$\sqrt2\approx1.414$ (1.41421356237310)
是经过四舍五入得到的近似值，则
绝对误差限$\varepsilon$=$\frac{1}{2}*10^{-3}$
相对误差限$\varepsilon_r=\frac{0.5*10^{-3}}{1.414}\approx0.035$%

有效数字

$\sqrt2=1.41421356$
$(|x-x^*|\leqslant\frac{1}{2}*10^{-3})$ $x^*=1.414$—有效数字4个
$(|x-x*|\leqslant\frac{1}{2}*10^{-7})$ $x^*=1.4142136$—有效数字8个

x=0.005800$\plusmn$$\frac{1}{2}*10^{-6}$表示近似值
$x^*=0.005800$准确到小数点后6位，有4位有效数字

$\sqrt2$=1.41421356237310……
$x^*=1.414213$作为$\sqrt2$d的近似值，有几位有效数字？

$|e(x^*)|=|x-x^*|=0.0000005623…$<$\frac{1}{2}*10^{-5}$
准确到小数点后5为，有6位有效数字

为使$\sqrt2$的近似值的相对误差线小于0.1%，至少要取几位有效数字？
（用绝对误差限和有效数字的关系）
$\varepsilon=\varepsilon_r*|x|<\sqrt{20}*10^{-3}=0.4…*10^{-2}$
$0.5*10^{-3}<0.4…*10^{-2}$
需要准确到小数点后第3位，有4位有效数字

x表示成规范模式*

定理一：若x的近似值x*=$\plusmn0.a_1a_2a_n*10^m(a_1\mathrlap{\,/}{=}0)$有n位有效数字，则$\frac{1}{2a_1}$为其相对误差限。
反之，若$x^*$的相对误差限$\varepsilon_r$满足$\varepsilon_r\leqslant\frac{1}{2(a_1+1)}*10^{-n+1}$，则x至少有n位有效数字
实际上，使用的时候，通过绝对误差限中转

（3）数值计算中误差的传播

基本运算中的误差传播

用微分表示误差
$\Delta{y}\approx{dy}=f\prime(x)dx$

绝对误差的传播

$y=f(x),则e(y^*)=f(x)-f(x^*)\approx{df(x^*)}=f\prime(x^*)e(x^*)$
$\varepsilon(y^*)\leqslant|f\prime(x^*)|\varepsilon(x^*)$

$y=f(x_1,x_2，…,x_n),f$在点$（x_1^*,x_2^*,…,x_n^*）$处可微，$x_i^*$为$x_i$的近似值，则

相对误差的传播

（4）和差积商的误差公式

即和，差的绝对误差限不超过各数的绝对误差限之和

积，商的相对误差限不超过各数的相对误差限之和

（5）算法的数值稳定性

稳定性：在算法的计算过程中，舍入误差在计算过程中不增长，则称算法是数值稳定的，否则称算法是数值不稳定的

（6）数值计算中应注意的问题

• 避免两个相近的数相减

• 避免大数吃小数的现象
  改变顺序，先对小的部分操作，就有可能最后不会被吃掉
• 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值



• 当|y|<<|x|时，舍入误差可能增大很多
• 要简化计算，减少运算次数，提高效率
  秦九韶算法
• 选用数值稳定性好的算法