8种机械键盘轴体对比
本人程序员，要买一个写代码的键盘，请问红轴和茶轴怎么选？
加法
加法可以拆分成几个步骤，首先是每位上的数对应相加，将结果与对应的基数取模，设置为当前位，然后处理相加之后产生进位的位，给它们的上一个拥有更大权值的位加上一，如果又产生进位，就如此循环，直到没有进位为止。
对于二进制来说，第一步相加取模是这样的：
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31 + 1 = 0
1 + 0 = 1
0 + 0 = 0可以看到，只有两位数不一样的情况下，值才为1。这正和异或运算的结果相同。
而在二进制中，只有1+1才有可能产生进位，也就是说，我们需要找出两个数中都为1的位，这一点可以使用与运算实现。然后，将与运算的结果左移一位，与第一步的结果相加，就能得到最终的结果。
可以注意到最后又产生了一次加法，这里可以使用递归的思想来处理。不断递归，直到第二步的结果为0，也就是说，没有在需要进位的位，就意味着计算完毕。
于是，加法可以使用异或和与运算实现。递归的C语言实现如下：1
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10int (int a, int b){
if (b == 0) {
return a;
}
int add_xor = a ^b;
int add_carry = (a & b) << 1;
return add(add_xor, add_carry);
}尾递归也可以很容易优化为迭代形式：
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11int add_by_loop(int a, int b){
int add_xor = 0;
while (b) {
add_xor = a ^ b;
b = (a & b) << 1;
a = add_xor;
};
return a;
}减法
实现了加法，接可以直接将减法视为加上它的逆元。对于以补码形式表示的有符号数来说，一个数x的逆元为~x+1。这是因为，对于一个w位的数x来说，x + ~x = 2^(w) - 1。所以 x + ~x + 1 = 2^(w) = 0(截断)。所以 ~x + 1为 x的逆元。
因此，减法可以如下实现：
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3int sub(int a, int b){
return add(a, add(~b, 1));
}乘法
abc * def 这种形式的乘法，实际上可以转化为加法和移位的结合。因为对于abc * def，实际上对于def中的每一位(例如e)，都有对应个(e个)的abc相加，然后将结果提升当前位的权值(假如是十进制，对于e，提升10^1)。这样每一位运算的结果加起来，就是最终的结果。
二进制比十进制更简单，因为其每一位只可能为0或1，要么不加，要么加一次。
因此，乘法可以如下实现：
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14int mul(int a, int b){
int result = 0;
while (b) {
if (b & 0x1) {
result = add_by_loop(result, a);
}
b >>= 1;
a <<= 1;
}
return result;
}除法
除法则可以视为乘法的逆运算。对于二进制来说，从高到低的每一位，将除数提升到当前位的权值(即，乘以2^k，等同于左移k位)，如果此时被除数扔大于除数，就说明结果在这个位上商1。然后从被除数减掉除数提升后的值。遍历每一位，即为最终的结果。
因此，除法可以这样实现:
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21int divi(int a, int b){
int result = 0;
int length = sizeof(a);
bool flag = (a < b)||(b < 0);
a = (a < 0)? -a:a;
b = (b < 0)? -b:b;
for(int i = sub(mul(length, 8), 1); i >= 0; i = sub(i, 1)){
if((a >> i) >= b){
// 这个地方使用 a 右移来比较，而不是将 b 左移的原因是因为:
// 有符号数在机器中以补码的形式表示，首位为1的字将被诠释为负数，导致结果错误
// 右移则可以回避这一点
result = add(result, 1 << i);
a = sub(a, b << i);
// (a >> i) >= b，意味着 b << i 不会导致首位为1，所以可以直接运算
}
}
return flag?-result:result;
}这样做除法，得到的不是精确结果，而是将真正值进行向下舍入的结果。这是因为，对于 p/q，我们的运算会产生一个结果a，和直到最后都没能减尽的b。p除以q等于a余b，即p=q*a+b，p/q=a+b/q，b < q。即为a加一个小数，我们丢掉了这个小数，即向下舍入。(对于，负数结果来说，就成了向上舍入)。
需要注意的地方
需要注意的是，减法只适用于数是用定长方法表示时的情况。因为求逆元用到了两个数相加后溢出截断的原理。因此，对于不定长表示的数，例如Python中的整数表示，无法得到正确的结果。
