图像有个最显著的特征，就是它弯曲的朝向。图1的左边，曲线是凹的，右边是凸的。二阶导的符号可以向我们提供凹凸信息。
图1
正的二阶导f′′(x)>0说明f′(x)的斜率是x的增函数。这意味着切线从左到右逆时针转动，如图2左边。我们说曲线是凹的(凹面是空心的那一边)。除了切点外，曲线位于切线的上方。同样的，如果二阶导是负的f′′(x)<0，那么f′(x)的斜率是减函数，切线从左到右顺时针转动，如图2右边。我们说曲线是凸的。除了切点以外，曲线位于切线的下方。
图2
大部分曲线在某些区间为凹的，在其他区间为凸的。像图2中的点P，通过它后凹凸性会改变，这样的点叫做拐点。如果
f′′(x)是连续的，且在点
P两侧符号相反，那么P本身就是零点。找拐点主要就是求解等式f′′(x)=0，检查每个根两边的凹凸性。
例1：考虑函数
y=f(x)=2x3−12x2+18x−2
的凹凸性，计算一阶导
f′(x)=6x2−24x+18=6(x−1)(x−3)
二阶导
f′′(x)=12x−24=12(x−2).
驻点(
f′(x)=0的根)是
x=1,x=3，对应的值为
y=6,y=−2。 可能的拐点是
x=2，因为它是
f′′(x)=0的根。很明显
x<2 时函数为正，
x>2时函数为负，所以图像在
x=2左边为凸，右边为凹。所以的确存在一个拐点，如图3。
图3
例2：有理函数
y=1x2+1
比较容易画出来，因为它关于
y轴对称。在x=0处有最小值，因为此时分母最小，当
|x|→∞时，
y→0。 从直觉上它的图像如图4。很明存在两个拐点，接下来的问题是如果确定他们的位置。首先，计算一阶导
y′=−2x(x2+1)2
二阶导
y′′==(x2+1)2⋅(−2)+2x⋅2(x2+1)⋅2x(x2+1)4(x2+1)⋅(−2)+8x2(x2+1)3=2(3x2−1)(x2+1)3
解等式
y′′=0的
x=±1/3√，拐点的位置。我们可以根据每部分凹凸性来证实最开始我们对它的大致印象。当
x2<13时，
y′′<0。当
x2>13时，
y′′>0。这些事实告诉我们
−1/3√<x<1/3√时，图像时凸的，其余部分是凹的。
图4
注解1：我们已经在例子中说明，知道了f′′(x0)=0不能保证x=x0是拐点。我们还必须知道图像在x0两侧的凹凸情况。考虑一个最简单的函数y=f(x)=x4(图5)。f′(x)=4x3,f′′(x)=12x2，所以x=0处f′′(x)=0。然而，f′′(x)在x=0点的两侧均是正的，因此这个点对应的是极小值，不是拐点。函数y=x5−5x4给出了一个更复杂的类似情况。
图5
y′=5x4−20x3y′′=20x3−60x2=20x2(x−3).
y′′=0的根是
x=0,x=3。然而，
y′′在
x=0处没有改变符号，所有只有
x=3是拐点。图像在该点左边是凸的，右边是凹的。
注解2：我们很容易做出函数y=x1/3=x√3的图像(图6)，明显在x=0处有拐点。我们也可以通过求二阶导验证它
y′=13x−2/3
y′′=−29x−5/3=−29x5−−√3
所以如果
x<0，
y′′为正，
x>0，
y′′为负。然而，
y′′在
x=0处不存在。为了找到拐点，我们不仅要考虑
y′′=0，还得考虑
y′′不存在的情况。
图6
注解3：有一个二阶导测试，也就是用二阶导来确定驻点是否为极大或极小值(非正式的用图7 来说明：如果f′(x0)=0且f′′(x0)<0，那么它是极大值(左图)；如果f′(x0)=0且f′′(x0)>0，那么它是极小值(右图))。有时候这个测试非常有用，但是经常被夸大了。之后我们会看到许多应用来确定极大极小值，没有哪种测试是万能的。
图7
