已知数据X，去拟合某个概率模型的参数θ，是最基本的机器学习过程。
本文将入门讲解3个最基本的方法：最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation，简称MLE)，最大后验概率估计（Maximum a Posteriori estimation，简称MAP），以及贝叶斯估计。
下面的所有讲解都将用到这样的一组实验数据：抛一个硬币10次，得到如下结果：
正正反正反正正正反正
根据实验结果，我们的目标是用经典的二项分布来描述该概率模型。该概率模型有一个参数θ，即：每投一次硬币，出现正面的概率：p(正) =θ。我们将要通过数据来拟合这个参数。
下面分别用上述三种方法来求解θ。
1、 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）
顾名思义， 最大似然估计尝试求解使得X出现概率最高的θ。
抛一个硬币10次，出现正面7次，我们的直觉会告诉我们，θ很有可能为0.7。
实际上，这种直觉恰好就是最大似然估计的结果。那么具体如何求解呢？
对于m次实验，由于每次都是独立的，我们可以将X中每一次实验结果Xi的似然函数P(Xi|θ)全部乘起来，那么，使得该式取得最大值的θ*，即为θ的最大似然估计：
在本例中，即：
我们用横轴表示θ的取值（从0到1），纵轴表示上述函数的值，该函数绘制出来如下所示：
图1 P(X|θ)的似然函数
很容易看到，当θ取值为0.7时，函数取得唯一的极大值。
具体求解方式可对该函数求导。为了便于计算，通常引入对数来处理：
当导数为0时函数取得极大值，此时θ取0.7。
值得注意的是，最终的表达式为正面出现的次数除以总实验次数，恰好符合我们的直觉。
2、最大后验概率估计（Maximum a Posteriori estimation，MAP）
上述最大似然估计方法尝试求解θ来最大化似然函数P(X|θ)，显然计算出来的参数完全取决于实验结果。
如果该硬币是完全对称的（即实际上θ=0.5），但是由于实验误差，10次出现了7次正面，因此我们计算出来的0.7与真实值0.5相比，也产生了很大的误差。
MAP方法能够很大程度解决这个问题。该方法尝试最大化另外一个概率值——后验概率P(θ|X) 。
我们来看看这样做有什么不同。由贝叶斯公示我们得知：
上式的分母部分P(X)为已知的（称作证据），因此，我们只需要最大化分子部分：P(θ|X)P(θ)。
注意该式和最大似然估计的唯一区别，是增加了先验概率P(θ)。这里如何处理呢？
实际上，这里的先验概率是我们自己来设定的（这就是所谓的先验知识，即你的认知、经验等），和实验结果X无关。
在此例中，先验概率表示我们的经验和认知告诉我们，对于投硬币这个二项分布模型而言，该模型的参数θ应该服从什么分布。
比如，我坚定的认为，硬币就应该很均匀，但允许在0.5附近有一定偏差，那么，我们可以选择一个正态分布N（0.5, 0.1）来描述θ：
图2 P(θ)的正态分布
由于我们的任务为最大化P(θ|X)P(θ)，因此我们如果把图1的似然函数和图2的正态分布两个函数乘起来，便得到了函数P(θ|X)P(θ)。同样当导数为0时函数求得最大值，对应的θ即为所求。其求解较为复杂，可以使用matlab进行求解。
如果手动求解，过程和最大似然方法类似，如下：
可以看到，导数的最终结果和最大似然法相比多了一项。
下面给出P(θ|X)P(θ)的图像：
图3 当P(θ)为正态分布时的P(θ|X)P(θ)
图中，上子图是实验10次，正面7次的结果；下子图是实验1000次，正面700次的结果。
可以看到，实验10次，取得最大值时的θ为0.5577左右，明显小于MLE求出来的0.7。
而实验1000次，取得最大值时的θ在0.7左右。
因此，可以这样理解：MAP方法对实验数据保留了怀疑态度，因此引入了先验信息来缓解实验数据的误差。如果要说服MAP相信实验结果，则必须增加实验次数。
上面是采取正态分布作为先验模型的结果。我们当然可以换别的先验模型，比如选择θ服从Beta（2,2）的贝塔分布，则同样的实验结果下，计算出来的结果如下：
图4 当P(θ)为贝塔分布时的P(θ|X)P(θ)
10次实验结果下，θ在0.68左右取得最大值；1000次实验结果下同样趋近于0.7。
可见，实验样本不够多的时候，先验概率模型的选择对结果影响还是很大的。就本例而言，Beta分布相对于正态分布，更愿意相信实验数据。
3、贝叶斯估计
贝叶斯估计与上述两类估计方法最大的区别在于：该类方法并不求出参数θ的具体值，而是求出θ的概率分布模型。
简单的说来，MLE方法求出θ=0.7，MAP求出θ=0.68，而对于贝叶斯估计，如果假设θ服从贝塔分布，则最终求出θ~Beta(α,β)的模型参数α,β。
首先，我们先来看贝塔分布的几种表示形式：
我们在待会的计算中会用到上述表达形式。
下面同样以10次抛硬币7次正面的结果为例进行讲解。
之前，我们已经介绍了贝叶斯公示。在MAP计算中，我们省略了贝叶斯公式中的证据部分P(X)。但是在贝叶斯估计方法里，我们要利用P(X)做点事情：
在上式中，我们通过全概率公式展开P(X)、约掉B(α,β)，将结果巧妙的组成了一个新的贝塔概率分布函数θ~Beta(α+7,β+3)，而这就是我们要求解的θ的概率分布。
计算的结果为一个新的贝塔分布，难道仅仅是巧合吗？
其实这是因为P(θ)使用的先验模型——贝塔分布，与P(θ|X)使用的伯努利分布是共轭关系。正是这种共轭关系，使得伯努利分布乘以贝塔分布，其结果是一个新的贝塔分布。
可以这样理解贝叶斯方法：
（1）首先提出一个先验模型，该模型参数为θ；
（2）通过结合实验数据，最终得到一个新的模型，该模型参数为θ*。
这个过程很好的体现了通过数据来修正模型的思想。
