1、概念引入
基于统计先验知识,我们可统计出一个数表(集合)中各元素的查找概率,理解为集合各元素的出现频率。比如中文输入法字库中各词条(单字、词组等)的先验概率,针对用户习惯可以自动调整词频——所谓动态调频、高频先现原则,以减少用户翻查次数。这就是最优二叉查找树问题:查找过程中键值比较次数最少,或者说希望用最少的键值比较次数找到每个关键码(键值)。为解决这样的问题,显然需要对集合的每个元素赋予一个特殊属性——查找概率。这样我们就需要构造一颗最优二叉查找树。
2、问题给出
n个键{a1,a2,a3......an},其相应的查找概率为{p1,p2,p3......pn}。构成最优BST,表示为T1n ,求这棵树的平均查找次数C[1, n](耗费最低)。换言之,如何构造这棵最优BST,使得
C[1, n] 最小。
3、分段方法
动态规划法策略是将问题分成多个阶段,逐段推进计算,后继实例解由其直接前趋实例解计算得到。对于最优BST问题,利用减一技术和最优性原则,如果前n-1个节点构成最优BST,加入一个节点an 后要求构成规模n的最优BST。按 n-1, n-2 , ... , 2, 1 递归,问题可解。自底向上计算:C[1, 2]→C[1, 3] →... →C[1, n]。为不失一般性用
C[i, j] 表示由{a1,a2,a3......an}构成的BST的耗费。其中1≤i ≤j ≤n。这棵树表示为Tij。从中选择一个键ak作根节点,它的左子树为Tik-1,右子树为Tk+1j。要求选择的k 使得整棵树的平均查找次数C[i, j]最小。左右子树递归执行此过程。(根的生成过程)
4、递推计算式
5、基本算法如下
6、具体实现代码(其中所有数据都存放在2.txt中,其内容为:
其中5表示有5个节点,其他数据表示各个节点出现的概率;
1 #include<stdio.h>
2 #include<stdlib.h>
3 #define max 9999
4 void OptimalBST(int,float*,float**,int**);
5 void OptimalBSTPrint(int,int,int**);
6 void main()
7 {
8 int i,num;
9 FILE *point;
10 //所有数据均从2.txt中获取,2.txt中第一个数据表示节点个数;从第二个数据开始表示各个节点的概率
11 point=fopen("2.txt","r");
12 if(point==NULL)
13 {
14 printf("cannot open 2.txt.\n");
15 exit(-1);
16 }
17 fscanf(point,"%d",&num);
18 printf("%d\n",num);
19 float *p=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));
20 for(i=1;i<num+1;i++)
21 fscanf(point,"%f",&p[i]);
22 //创建主表;
23 float **c=(float**)malloc(sizeof(float*)*(num+2));
24 for(i=0;i<num+2;i++)
25 c[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));
26 //创建根表;
27 int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+2));
28 for(i=0;i<num+2;i++)
29 r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
30 //动态规划实现最优二叉查找树的期望代价求解。。
31 OptimalBST(num,p,c,r);
32 printf("该最优二叉查找树的期望代价为:%f \n",c[1][num]);
33 //给出最优二叉查找树的中序遍历结果;
34 printf("构造成的最优二叉查找树的中序遍历结果为:");
35 OptimalBSTPrint(1,4,r);
36
37 }
38 void OptimalBST(int num,float*p,float**c,int**r)
39 {
40 int d,i,j,k,s,kmin;
41 float temp,sum;
42 for(i=1;i<num+1;i++)//主表和根表元素的初始化
43 {
44
45 c[i][i-1]=0;
46 c[i][i]=p[i];
47 r[i][i]=i;
48 }
49 c[num+1][num]=0;
50 for(d=1;d<=num-1;d++)//加入节点序列
51 {
52 for(i=1;i<=num-d;i++)
53 {
54 j=i+d;
55 temp=max;
56 for(k=i;k<=j;k++)//找最优根
57 {
58 if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<temp)
59 {
60 temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];
61 kmin=k;
62 }
63 }
64 r[i][j]=kmin;//记录最优根
65 sum=p[i];
66 for(s=i+1;s<=j;s++)
67 sum+=p[s];
68 c[i][j]=temp+sum;
69 }
70 }
71 }
72 //采用递归方式实现最优根的输出,最优根都是保存在r[i][j]中的。。。
73 void OptimalBSTPrint(int first,int last,int**r)
74 {
75
76 int k;
77 if(first<=last)
78 {
79 k=r[first][last];
80 printf("%d ",k);
81 OptimalBSTPrint(first,k-1,r);
82 OptimalBSTPrint(k+1,last,r);
83 }
84 }
7、最终运行结果:
8、参考文献:
(1)算法导论
(2)数据结构 严蔚敏
(3)网上下载的一个ppt(算法设计与分析,第八章)
作者:lpshou
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