文章目录
- 一、前言
- 二、线性时不变(LTI)系统
- 三、冲激函数
- 四、阶跃函数
- 五、卷积
- 5.1 卷积的推导
- 5.2 LTI系统卷积的性质
- 5.2.1 交换律
- 5.2.2 分配律
- 5.2.3 结合律
数字信号处理是音视频开发所必不可少的一项技能,我会从本篇开始,开启一系列入门文章,分享关于数字信号处理方面的知识。这只是一个精简的知识提炼,供大家进行入门,也是对自己的一个备忘和学习笔记。难免会有纰漏,要深入的同学请务必去看一些经典教材。
文章以 * 来表示乘法,以
一、前言
数字信号处理我们日常生活中其实会经常接触到,像音频、视频、机械控制等等。简单来说就是一个信号,通过系统后输出信号,系统需要对信号进行处理,比如滤除噪音、调节频率等等。数字信号处理讲的就是对进行操作的学问。
二、线性时不变(LTI)系统
一般我们说数字信号处理都是基于线性时不变(LTI)系统,那么什么是LTI系统呢?顾名思义
1. 线性: 这个线性其实就是我们所用的线性方程中的那个概念,满足叠加定理,比如是一个映射(也就是我们常说的函数关系)。假设有,经过同样的映射,那么。
2. 时不变: 这个就更好理解了。同样一个输入信号,任何时候的输出都是一样的。
三、冲激函数
冲激函数是指在0点上有值,而在其他地方均为0的函数。通常使用表示。
连续形式:
上面的式子比较抽象,其实它只有一个定义,就是在负无穷到正无穷的积分是1。
离散形式:
它们各有一些性质,不过我们马上使用的是一些直观上的数学性质。
需要说明的一点,之后我们推导的很多公式都会以连续信号和离散信号的形式。连续信号我们以表示,离散信号我们以表示
四、阶跃函数
阶跃函数是从0开始到正无穷都为1,从负无穷到0都为0的函数。
连续形式:
需要注意的是,阶跃函数在t=0这一点是不连续的。
连续的阶跃函数和冲激函数有这么一层关系,从上面讲的连续冲击函数的定义,就可以得出
因为在负无穷到正无穷的积分是1。那么就是的一阶微分。但上面也说过在t=0时是不连续的,因此严格来说不是可导的。但如果将认为是在一个很小的间隔内从0上升到1的,那就不难理解了。而这种情况,其实在现实世界中才是真正常见的。
离散形式:
显然离散形式要简单多了。同连续形式,我们也可以得出离散的冲击函数和阶跃函数的关系。
是的求和
或者
是的差分。
从以上形式不难看出一个规律,离散的求和对应连续的积分,离散的差分对应连续的微分,这一点将会在记忆一些性质的时候特别有用。后面我们也将会更加深刻地体验到。
五、卷积
5.1 卷积的推导
让我们以离散信号举例,从上面的冲激函数和阶跃函数来推导。
设有一信号
由于我们是从数学上来推导,因此暂且不要关心信号的序号为什么会有负的。
由冲激函数的定义,我们可以稍稍变形
因为当且仅当时
那么
设有一LTI系统对冲激信号的响应为,称为冲激响应。由我们对LTI系统的定义,它是满足叠加性质的,也就是说,对于系统S,它的输入为,输出为,根据LTI的线性性质,就有
此处我们把看做了一个系数。
因此可以得出系统S对的输出为
这便是卷积的定义。由此我们也能得出,只要知道了一个系统的冲激响应,那么就可以得出它对任意输入信号的输出。
需要区分和的区别,虽然是一个冲激信号,只在一个时段有值,但它的响应是一个普通的信号,有可能是任何形式的,但是绝大部分来说,都会持续一段时间。
这就好像有一台马达,你在很短的时间内给它电源,断掉之后它还会持续转一会儿。
类似于这样
当然,也有输入时冲激信号,输出也是冲激信号,就是
那么这样的系统我们称之为无记忆系统,当前的输出只和当前的输入有关。但现实世界中我们绝大多数都面对的是有记忆系统,当前的输出和之前的输入以及当前的输入有关。上面马达的例子还有图都是有记忆系统。
说到这个,系统还分为因果系统和非因果系统。因果系统是输出仅和之前以及目前的输入有关,而非因果系统是输出和之前、现在以及将来的输入有关。非因果系统实在太过诡异,以至于我目前还无法理解,也没遇到过。我们说的系统,都是因果系统。
5.2 LTI系统卷积的性质
5.2.1 交换律
假设有
那么
5.2.2 分配律
这个就更简单了,便不单独推导了。
用系统框图表示就是
上下两个系统是等价的
5.2.3 结合律
这个需要从求和公式中推导,这里就不展开了,记住就好。
根据这个式子,有一个很重要的结论。
假设信号先经过冲激响应为系统S1,得到输出为,然后经过冲激响应为系统S2,得到最终输出。那么它也等效于信号先经过S2再经过S1。如下图。
牢记以上的几条性质,对于系统设计会非常有用。
上面都是以离散信号举例,其实对于连续信号来说,也是一样的,只是把求和换成积分。
由于我们目前将的都是数字信号处理,因此着重讲离散信号,连续信号都会跟着提一下。
至此,讲完了卷积的由来,下一篇我们讲一下傅里叶变换。