主成分权重计算

主成分分析法

• 主成分分析法的评价步骤

• 自行封装函数

• 参考文献

主成分分析法的评价步骤

1、对原始数据进行标准化处理。将各指标值$a_{ij}$转化为标准化指标：

其中：

即$μ_j,s_j$为第$j$个指标的样本均值和样本标准差。对应地，称：

为标准化指标变量。

2、计算相关系数矩阵$\R$。相关系数矩阵$\R=(r_{ij})_{5*5}$，有：

其中，$r_{ii}=1,r_{ij}=r_{ji}$，$r_{ij}$是第$i$个指标与第$j$个指标的相关系数。

3、计算特征值和特征向量。计算相关系数矩阵$\R$的特征值$λ_1>=λ_2>...>=λ_5>=0$，及对应的标准化特征向量$u_1,u_2,...u_5$，其中$u_j=[u_{1j},u_{2j},...,u_{5j}]^T$，由特征向量组成5个新的指标变量：

其中，$y_1$是第一主成分，$y_2$是第二主成分,…,$y_5$是第五主成分。

4、选择$p(p<=5)$个主成分，计算综合评价值。

（1）计算特征值$λ_j(j=1,2,...,5)$的信息贡献率和累积贡献率。称为：

为主成分$y_j$的信息贡献率，而且称：

为主成分$y_1,y_2,...y_p$的累积贡献率。当$α_p$接近于1（$α_p=0.85,0.90,0.95）$时，则选择前$p$个指标变量$y_1,y_2,...y_p$作为$p$个主成分，代替原来的5个指标变量，从而可对$p$个主成分进行综合分析。

（2）计算综合得分：

其中，$b_j$为第$j$个主成分的信息贡献率，根据综合得分值就可进行评价。

自行封装函数

1、该函数需要使用者自行定义想要选取的主成分的个数，但选择主成分个数时受到人的主观意愿影响较强。

function [stf,ind] = main_element_analyzing(gj,num)
%   main_element_analyzing 该函数用于进行主成分分析
%   输入的gj矩阵要求每一列代表评价指标，每一行代表评价对象
%   num为选取的主成分的个数
gj=zscore(gj); %数据标准化
r=corrcoef(gj);  %计算相关系数矩阵
%下面利用相关系数矩阵进行主成分分析，x的列为r的特征向量，即主成分的系数
[x,~,z]=pcacov(r); %y为r的特征值，z为各个主成分的贡献率
f=repmat(sign(sum(x)),size(x,1),1); %构造与x同维数的元素为±1的矩阵
x=x.*f; %修改特征向量的正负号，每个特征向量乘以所有分量和的符号函数值
% num=3;  %num为选取的主成分的个数
df=gj*x(:,[1:num]);  %计算各个主成分的得分
tf=df*z(1:num)/100; %计算综合得分
[stf,ind]=sort(tf,'descend');  %把得分按照从高到低的次序排列
stf=stf';
ind=ind';
end

2、该函数需要使用者自行设定选择主成分个数的阈值大小，这样可以使主成分的个数选择更加合理化

function [stf,ind,num] = main_element_analyzing(gj,alpha_p)
%   main_element_analyzing 该函数用于进行主成分分析
%   输入的gj矩阵要求每一列代表评价指标，每一行代表评价对象
%   num为选取的主成分的个数
%   alpha_p为自主设定的、用于选择主成分的阈值大小，注意其单位是百分比
gj=zscore(gj); %数据标准化
r=corrcoef(gj);  %计算相关系数矩阵
%下面利用相关系数矩阵进行主成分分析，x的列为r的特征向量，即主成分的系数
[x,y,z]=pcacov(r); %y为r的特征值，z为各个主成分的贡献率
for i=1:length(z)  %通过确定累积贡献率的大小判断出要选择主成分的个数
    temp=sum(z(1:i,1),1);
    if temp>alpha_p
        num=i-1;
        break;
    elseif temp==alpha_p
        num=i;
        break;
    end
end
f=repmat(sign(sum(x)),size(x,1),1); %构造与x同维数的元素为±1的矩阵
x=x.*f; %修改特征向量的正负号，每个特征向量乘以所有分量和的符号函数值
df=gj*x(:,[1:num]);  %计算各个主成分的得分
tf=df*z(1:num)/100; %计算综合得分
[stf,ind]=sort(tf,'descend');  %把得分按照从高到低的次序排列
stf=stf';
ind=ind';
end

提示：在使用时一定要注意$α_p$的单位是百分比！！！

参考文献

司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.