迈向成功之路
噢耶
这回咱们聊一聊RSA加密是怎么回事。
RSA是一个非对称加密的系统，意思是说它有一对密钥，也就是一个公钥和一个私钥。你保管好私钥，然后公钥可以随意的分发出去。数据通过公钥加密，私钥解密。反之亦然。
正是由于这种特性，在不泄漏私钥的情况下，中间人只通过公钥无法窃取到信息。
非对称加密的应用场景相当广泛，随处可见，像 https 传输，就是结合了对称和非对称两种加密方法。想知道 https 传输是怎么回事？先按下不表，后文再叙。(意思是还不赶紧关注？)
RSA原理是什么？
这里用一个例子说明RSA的原理，为了方便理解，例子中的数字都很小，但在实际的算法中使用的数字都很大。
假设有这样一个数据，“HELLO”。然后我们有两组数字对(5, 14)和(11, 14)，先别急，稍后会解释这两组数字对是怎么得到的。显然对字符串没办法进行数学运算，所以得先把这个数据转化用一些数字表示。先假设HELLO被我们用某种方式转化成了数字2。在实际应用中，这种变换有很多的实现方法，比如采用ascii编码，utf8编码等。
好了万事俱备，现在我们开始加密和解密吧！
整个过程有这么几步：
- 加密步骤：对原始数据(在例子中是2)，根据公钥(5, 14)，进行运算 2 ^ 5 (对原始数据取5次方)，再对14取余数，得到加密后的数据是 4。
公式描述: (2 ^ 5) mod 14 = 4 - 解密步骤：对上一步加密过后的数据(4)，根据私钥(11, 14)，进行和解密步骤相同的运算，得到原始数据 2。
公式描述: (4 ^ 11) mod 14 = 2
加密和解密的过程如下图所示：
上图就是RSA算法的基本结构。就像上面提到的，公钥和私钥也可以反过来做运算，效果是一样的。
(2 ^ 11) mod 14 = 4(4 ^ 5) mod 14 = 2在这个算法中最有意思的部分就是这两个数字对(5, 14)和(11, 14)是怎么得到的。显然我们应当探究一下原理。
获取数字对的步骤
- 选两个质数，比方说 2 和 7，
P = 2，Q = 7 - P 乘 Q 得到 N，
N = 2 * 7 = 14
被加密的数据要小于 N。 - 从1到N中，找到所有和 N 互质的数字，记录个数为 L，在这个例子中，总共有6个数，
L = 6
还有一种简单方法得到这个数字L，
L = (Q - 1) * (P - 1) = 6 * 1 = 6 - 接下来我们来找密钥，在这个例子中是(5， 14)，14是上面第二步得到的数，我们是怎么得到的5呢？
首先列出从 1 到 L 之间的所有数字。也就是 [2,3,4,5]。然后在这些数字里找到和 L 以及 M 都互质的数字，也就是 5。
所以一个公钥对是 (5, 14)。
我们用字母 E 来代表数字 5。 - 在解密的过程中，我们选择了数字对(11, 14)，14就不必说了，那么数字11是怎么得到的呢？我们先用D来表示这个数字11，接下来我们探究一下如何找到D。
D 必须满足以下条件:
(D * E) % L = 1
我们可以算一下 50 以内，满足这些写条件的数字有哪些：
[5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47]。
这些数字都可以作为解密算子，随便取一个数字试一下，比如17：
(4 ^ 17) mod 14 = 2
在这个例子中我们选择了数字 11，(50只是一个数字选取的范围，不参与任何运算)，这样我们就得到了数字对(11, 14)。
RSA算法的数学证明
他来了！最有趣的一趴他来了！虽然刚才举例说明了 RSA 算法能对数据进行加密解密，但是我们如何证明 RSA 算法是严格成立的？这时候就得借助一些数学工具了。
首先介绍一点点背景知识：
背景知识1：
欧拉定理：
n 是一个正整数，a 和 n 互质，ϕ(n) 表示 1 到 n 中和 n 互质数的个数，也就是上述步骤3中的 L，那么如下公式成立：
翻译过来就是：a 的 ϕ(n) 次方对 n 取余数，结果是1。三道杠的等号表示左右两边的数字对 n 取的余数是相等的。
还有亿点点：
背景知识2：
模运算法则：
1. 乘法运算：如果 a 和 b 对 N 取余数相等，那么对于整数k， k*a 和 k*b 对 N 取余数也相等。
2. 指数运算：如果 a 和 b 对 N 取余数相等，那么对于正整数k， a 的 k 次方和 b 的 k 次方对 N 取余数也相等。
介绍完背景知识，下面开始推导过程：
假设我们的数据是 m，加密过后的数据是 (m ^ D) mod n, 解密过后的数据是 ((m ^ D) ^ E) mod n, 我们的目标就是要证明解密过后的数据和原始数据相等，也就是：((m ^ D) ^ E) mod n 和 m mod n 相等。
推导公式如下：
首先，在步骤5中，选取 D 的方式是 (D * E) % L = 1 ，所以，我们将 D * E 改写成 k * L + 1。然后根据欧拉定理 m ^ L 对 n 的余数是 1，将 m ^ L 化简为 1，最终得到结果 (m ^ (D * E)) mod n = m mod n。证明完毕。
RSA 算法如此精妙，真心敬佩数学先驱和伟人们的智慧。
好了，以上就是文章全部内容，咱们下期再见！
编辑：大柱子
参考:
1.
https://hackernoon.com/how-does-rsa-work-f44918df914b
2.
https://brilliant.org/wiki/rsa-encryption/
