prompt response 工具 response optimization

IRS Reflection Optimazation

在该章中，我们探究对于在各种系统设置下IRS辅助的无线通信的无源反射优化，即，从单用户到多用户、从单天线到多用户、从窄带到宽带、以及从单校区到多小区通信。为了阐述的目标，我们假定在该章中的信道都是理想的。

在Fig. 8中，我们展现了一个单小区IRS辅助的多用户通信系统，其中一个由$N$个反射元件构成的IRS被放置协助通信：从AP/BS到$K$个用户的下行链路。用户被任意地置于小区，因此通常一些用户并不处于IRS的临近处。

Fig. 8 IRS-aided multi-user communication system.

A. IRS-Aided SISO System: Passive Beamforming Basics and Power Scaling Order

首先，考虑单用户单输入单输出（Single-Input-Single-Output, SISO）例子，并且平坦信道的窄带系统。
首先定义以下参数：

Symbol	Meaning	Value
	User
	The number of transmitter
	The number of receiver
	baseband equivalent channel from AP to IRS
	baseband equivalent channel from IRS to user
	baseband equivalent channel from AP to user

基于（6）的IRS反射模型，在用户的信号接收可以被表示为：
$y=(\mathbf{h}^H_r \Theta \mathbf{g} + h^*_d) \sqrt{P_t}x + z ,$
其中，$x$是零均值且单位方差的独立同分布随机变量建模的信息信号，$P_t$是在AP处的发射功率，$z$定义在由零均值和方差$\sigma^2$的循环对称复数高斯（Circularly Symmetric Complex Gaussion，CSCG）建模的加性高斯白噪声。因此，用户接收的SNR可写成：
$\gamma = \frac{ P_t | \mathbf{h}^H_r \Theta \mathbf{g} + h^*_d |^2 }{ \sigma^2 } = \frac{ P_t | \sum^N_{n=1} h^*_{r,n} \beta_n e^{j \theta_n} g_n + h^*_d |^2 }{ \sigma^2 } .$
因此，所认定的IRS协助点对点的SISO链路的以比特每秒每赫兹（bps/Hz）为单位最大可实现速率为：
$r = \log_2 (1+\gamma).$

我们目标以优化在IRS的无源反射波束成形最大化可达到速率$r$（SNR $\gamma$）。通过忽视常量术语，并假定连续反射复读和相移，优化问题可以被制定为：
$\begin{aligned} (P1): &\max_{\theta,\beta} \left| \sum_{n=1}^N h^*_{r,n} g_n \beta_n e^{j \theta} + h^*_d \right| \\ & s.t. 0 \leq \theta_n \leq 2 \pi, n=1,...,N, \\ & \quad 0 \leq \beta_n \leq 1, n=1,...,N, \end{aligned} \quad (21)$
其中，$\mathbf{\theta}=[\theta_1,...,\theta_N]^T$，$\mathbf{\beta} = [\beta_1,...,\beta_N]^T$。

对于给定的$\mathbf{\beta} \leq 0$，对于(P1)的最优相移解给定于[8]&[9]：
$\theta^*_n = \operatorname{mod}[ \zeta - (\phi_n + \psi_n),2 \pi ], n = 1,...,N,$
其中，$\phi_n$、$\psi_n$、以及$\zeta$分别是$h^*_{r,n}$、$g_n$、以及$h_d^*$的周期。注意在(21)中的解不依赖在$\mathbf{\beta}$的值，这表明表明它们确实是(P1)的最优解。这是因为最优的相移应该将所有被IRS反射的信号（无论它们的信号强度如何）与直接来自AP的信号对齐，以实现相干结合，从而最大化用户的接收信号功率。

此外，与IRS反射的链路相比（例如，当AP严重阻塞时），如果AP-user的直接链路微不足道，因此它可以被忽视，即$h^*_d=0$，（21）的最优解可以在没有改变P1最优值下乘以一个任意小的相移。因此，在不牺牲最优的提前下，我们可以令$\zeta$为零。

总之，通过将（21）代入(substituting) （P1），这个问题可以被归约为：
$\begin{aligned} (P1.1): & \max_\beta \left| \sum^N_{n=1} |h_{r,n}| | g_n | \beta_n + |h_d| \right|^2 ~\qquad (22) \\ & s.t. \quad 0 \leq \beta_n \leq 1, n=1,...,N. \qquad (23) \end{aligned}$
由于相干合成（Coherent Combining）, 为了最大化最大用户的接受功率, 从Eq. (22), 最优振幅解为$\beta^*_n = 1, \forall n$. 值得注意的是：不需要任何一个独立的信道（$\bm{h}^H_r$ or $\bm{g}$），最优IRS反射设计依靠仅IRS间的级联信道（Cascaded Channel），即，$\text{diag}(\bm{h}^H_r)\bm{g}$。

Receive Power Scaling With N

通过假定：当$N \rightarrow \infty$， AP-user的径直信道 $h^∗_d$等同于0，基于$(21)$，用户接收功率$P_r$给定于$P_r = P_t \left| \sum_{n=1}^N |h^*_{r,n}| |g_n| \right|^2.$

假定：对于每个在$\bm{h}_r^H$ 和 $\bm{g}$的每个整体分别为 i.i.d. Reyleigh衰落（ 平均功率为 $p_h^2$ 和 $p_g^2$ ）。当$N \rightarrow \infty$，渐进的接收功率可近似地给定于：$P_r \approx N^2 \frac{P_t \pi^2 p_h^2 p_g^2 }{16}.$

这个结果表明：有足够大的$N$，用户接收功率随$N$的二次方增加，即，$\mathcal{O}(N^2)$。

或者，在不妥协接收SNR下，我们可以按比例降低在AP的发射功率。这是由于IRS不仅实现在IRS-user链路的反射波束成形增益$\mathcal{O}(N)$,而且在AP-IRS链路也是。

[9] Q. Wu and R. Zhang, “Intelligent reflecting surface enhanced wireless network via joint active and passive beamforming,” IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 18, no. 11, pp. 5394–5409, Nov. 2019.

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