映射函数 python 映射函数是高几学的

映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种

1.映射概念

设$X、Y$是两个非空集合，如果存在一个法则$f$，使得对$X$中每个元素$x$，按法则$f$,在$Y$中有唯一确定的元素$y$与之对应，那么称$f$为从$X$到$Y$的映射，记作
$f:X \to Y$
其中$y$称为元素$x$(在映射$f$下)的像，并记作$f(x)$,即
$y = f(x)$
而元素$x$称为元素$y$(在映射$f$下)的一个原像；集合$X$称为映射$f$的定义域，记作$D_{f}$，即$D_{f} = X;X$中所有元素的像所组成的集合称为映射$f$的值域，记作$R_{f}$或$f(X)$，即
$R_f = f(X) = {f(X)|x \in X}$

从上述映射的定义中，需要注意的是：

• 构成一个映射必须具备以下三个要素：集合$X$，即定义域$D_f = X$；集合$Y$，即值域的范围：$R_f \in Y$；对应法则$f$,使对每个$x \in X$，有唯一确定的$ y = f(x) $ 与之对应。
• 对每个$x \in X$，元素$x$的像$y$是唯一的；而对每个$y \in R_f$，元素$y$的原像不一定是唯一的；映射$f$的值域$R_f$是$Y$的一个子集，即$R_f \sub Y$

2. 满射、单射、双射

设$f$是从集合$X$到集合$Y$的映射；

• $若R_f = Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或$
  满射
• $若对X中任意两个不同元素x_1 \neq x_2，它们的像f(x_1) \neq f(x_2)，则称f为X到Y的$单射
• $若映射f既是单射，又是满射，则称f为$一一映射(或双射)

注：映射又称为算子。根据集合X、Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称。

• 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函
• 从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换
• 从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数

3.逆映射

$设f是X到Y的单射，则由定义，对每个y \in R_f，有唯一的x \in X，适合f(x) = y。于是，我们可定义一个R_f到X的新映射g，即$
$g:R_f \to X，$
$对每个y \in R_f，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y。这个映射g称为f的$逆映射，$记作f^{-1}，其定义域D_{f^{-1}}=R_f，值域R_{f^{-1}}=X$

注：按上述的定义，只有单射才存在逆映射。

4.复合映射

设有两个映射
$g:X \to Y_1，f:Y_2 \to Z，$
$其中Y_1 \sub Y_2，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个x \in X映成f[g(x)] \in Z。显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的$复合映射，$记作f \circ g$，即
$f \circ g：X \to Z，(f \circ g)(x)=f[g(x)],x \in X$
$由复合映射的定义可知，映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域R_g必须包含在f的定义域内，即R_g \sub D_f，否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射g和f的复合是有顺序的，f \circ g有意义并不表示g \circ f 也有意义，即使f \circ g和g \circ f都有意义，复合映射f \circ g和g \circ f也未必相同。$