1.集合与元素
定义 1.(
)所谓
集合(set)，是我们直观感到或意识到的，由确定的、彼此不同的对象结合在一起的联合体.构成集合的对象称为该集合的 元素(element).
定义 2.如果
是集合
的元素，则称
属于(belongs to)
.记作
.
定义 3.集合
当且仅当
.
定义 4.空集(empty set)
是不包含任何元素的集合.
推论 1.空集是唯一的.
证明：假设集合
均不含任何元素，那么由定义3可知， 有
成立.
以上这几条定义都是我们高中阶段所熟知的。在集合论创立之初，人们对集合的认识还不够深刻。集合论创始人
的朴素集合论的前提可以归结为：(1)集合可由任意不同的事物组成；(2)集合由构成它的事物聚集而唯一确定；(3)任何性质确定具有该性质的事物的集合. 然而最后一条前提会导致如下悖论：
例 1.(
)在自然数中，考虑“能用少于二十四个汉字表示的自然数”构成的集合。由于汉字不超过六万个，于是少于二十四个汉字所描述的自然数是有限的。由最小数原理，可以在不能用二十四个汉字表示的自然数中取到最小数
，于是
可以描述成“不能用少于二十四个汉字表示的自然数中最小的一个”，但从形式上看，
只需要二十三个汉字即可表达出来，这与语义矛盾。
如果说，
悖论是语义自身导致的矛盾，那么我们完全可以说这类语句本身是“病态构成的”，从而避免这类问题。但是，以下悖论则让人们认识到朴素集合论的基本概念就存在着重大的问题:
例 2.(
)设集合
，我们考虑
是否是它自身的元素：假如
,那么它必定满足
,矛盾；假如
,那么它满足性质
,于是
,矛盾.
悖论给
本人的工作带来了极大的障碍，然而这个悖论却直接导致了公理化集合论的产生。不过我们在这里并不想深究公理化集合论的一些内容，以免落入大量的复杂的形式化的演算。
2.集合间的包含关系
定义 1.若
有
则称
是
的
子集.记作
如果
且
.则称
是
的
真子集.并记作
命题 1.若
，且
，则
.
这个命题是显然的。
命题 2.空集是任何集合的子集.
证明：命题等价于说：对任意的集合
，有
.由于
为假.故该命题为真.
最后提出一个小问题：由于在逻辑上，前提为假，则无论结论真假如何，命题都是正确的。那么在前面的论述中，我们也可以得到：对
，这说明
.请问这个论证是否符合逻辑，如果不符合，问题出在哪呢？
