图论学习笔记（2）

基本概念

设图G，u∈V(G)，v∈V(G)，u-v通道（u-v path）是指从结点u出发，经过一个交互的结点和边的序列，最后回到结点v的路径，其中连续的结点和边是关联的。

通道的长度（length）是指通道经过边的数量。

若一个通道中没有重复的边，则称该通道为迹（trace）。（注：迹中的结点是可以重复的）

若迹开始和结束于相同的结点，则称该迹是闭的（closed），称该迹为回路（loop）。

若一个通道中没有重复的节点，则称该通道为路（pathway）。

若u∈V(G)，v∈V(G)，则一个将u和v连接起来的路称为u-v路（u-v pathway）。

注：显然，如果结点不重复，则边必然不重复，所以，一个路也是迹，一个闭路称为圈（circle）。

若图中的任意两个结点间都存在路，则称此图为连通图（connected graph），否则，称之为非连通图（disconnected graph）。

在连通图中，各个分支称为连通分量，严格来说，图的连通分量指的是极大连通子图（[unknown]）。

若u∈V(G)，v∈V(G)，则节点u和v之间的测地线路是指长度最短的u-v路，简称测地线（geodesic）。

注：

  1. 当你要在最短时间内从u到达v，测地线路是你的最佳选择。
  2. 途中可能存在多条测地线路。
  3. 测地线路也常被称为最短路。

图G的结点集V(G)，边集E(G)。当图H满足结点集V(H)的子集，边集E(H)是E(G)的子集，边界对每一条边e=uv∈E(H)，其中u∈V(H)，v∈V(H)，则称图H是G的子图（subgraph），通常称图G为图H的超图（supergraph）。

定义结点都给以标号的图称为标记图（labeled graph），否则，称为非标记图（unlabeled graph）。

注：对标记图G，若S⊆V(G)，并且在标记图G中共有k条边连接了S中的所有结点，那么，G的以S为结点集的子图数为2k。

若V(H)=V(G)，则称子图H是图G的生成子图（spanning subgraph）。

注：

  1. 可以通过删除给定图的边来得到它的生成子图。
  2. 一个有k条边的标记图右2k个生成子图。

 设图G有n个结点，且所有结点对都邻接，则称图G为完全图（complete graph），记作Kn。

相关结论：

 |E(Kn)| = n(n-1)/2，

此数目也是n结点图的边数上界，可以写作

|V(G)| = n ⇒ |E(G)| ≤ n(n-1)/2

图Kn是唯一含n结点的连通(n-1)-正则图。

图K1通常也被称作平凡图（trivial graph）。

约定：

当n ≥3时，n个结点的圈记作Cn。

含n结点的路记作Pn。

完全二分图（complete bipartite graph）Km,n是指图的节点机可以分成两个非空集合A、B，分别含有m、n个结点，A中每个结点要与B中每个节点相关联，且都只与B中结点相关联。

星（star graph）K1,n是一个完全二分图，图中只有一个结点的度为n，其余n个结点是度为1的端结点。

若图G含有n个结点，k条边，当k < n-1时，图G是非连通的，换句话说，含n个结点的连通图至少有n-1条边。

注：对含n个结点的图，有n-1条边仅是使它连通的一个必要条件，因为存在一些含有n个结点n-1条边的非连通图。

含有n个结点和n-1条边的连通图称作最小连通图（[unknown]）。