马尔萨斯模型代码python 马尔萨斯模型求解

1.人口增长

马尔萨斯模型

模型假设

(i)设x(t)表示t时刻的人口数，且x(t)连续可微

(ii)人口额度增长率r是常数（增长率=出胜率-死亡率）

(iii)人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加和减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率

建模和求解

于是得

解得

 

 

 

阻滞增长模型（Logistic模型）

模型假设

(i)设r(x)为x的线性函数，

(ii)自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为，即当时，增长率建模和求解

由假设可以得到自然增长率

解得

模型检验

syms x t

xm=10000;

x0=100;

r=0.1;

t0=0

x=xm/(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-t0)))

ezplot(x,[0,100])

对求二次导数得

(i),人口极限为(ii)时，

(iii)当

(iv) 当

(v) 当

人口总数为极限值一半之前为加速生长时期，一半以后为减速生长时期，生长速率逐渐变小，最终达到0.

 

模型推广：在马尔萨斯模型增加一个竞争项，作用为使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此时b较小；反之b较大，建立方程

解得求

二次导数得

(i)对于任意t>,有,且

(ii)当时，，递增；当时，；当时时，，递减

iii)当，，为凹，当时，, 为凸

 

令，得x1=0，，称为微分方程得平衡解。又，所以为微分方程得稳定平衡解。无论初始人口数量为多少，人口总数将稳定在

 

 

2.药剂量开处方

问题：药的剂量和用药间隔时间应该如何调节，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？

建模：

 

药物的排出：药物的浓度为C，临床试验显示，血液中药物浓度的减少与浓度成比例，k为排出常数

令单次用药的剂量为，其中，H为药物的最高安全级浓度，L为药物的最低有效级浓度

假设t=0时服第一次药，即t=0时浓度为

解得

 

药物的吸收：假设服用方式是注射到血管，药物在血液中迅速扩散，使得药物的吸收可以当成是瞬间吸收的。

 

多次用药的药物积累：

用药的周期为T，模型的起始时刻为0

为时刻用药后的浓度，,即为第，且即Ci和Ri的下标i均表示时刻

 

当n足够大的时候，可以得到稳定的药物残余浓度

，

联立上式可得服药周期T应为

 

编写MATLAB程序观察过程从时刻0开始每次服药后浓度C和每次残余浓度R是如何变化的

H=2;

L=1;

k=0.2;

C0=H-L;

C=0;

R=0;

T=1/k*log(H/L);

for t=0:T:100T

    C=R+C0;

    plot(t,C,'*')

    plot([t,t],[C,R])

    axis([0 1000 0 3]);

    hold on

    R=C*exp(-k*T);

    plot(t+T,R,'*')

    hold on

    RR=C*exp(-k*(tt-t));

    ezplot(RR,[t,t+T])

    axis([0 100 0 3]);

    hold on

end

 

结果如下：

可以看到，最高浓度和最低浓度已经稳定了

 

 

3.水污染问题

问题：给定的一个被污染的湖，只通过自然过程，要多久的时间才能恢复到可接受的污染程度。

假设：1.湖是一个大的容器或水池，在任意时刻t有的水

      2.污染物分布均匀，且以流动的方式存在，不会浓缩在动植物体内而遗留在生物系统

      3.污染物主要由于流出的方式离开湖外，不考虑沉淀、腐烂或其它天然方式排出湖外

     

建模：用表示t时刻湖中的污染物总量，污染物的浓度为

在时间内，污染物的总量的变化为Δp

假设水是以每公升克的常数浓度，以每秒公升的速率流入湖中，则

其中为常数假设水是以每秒公升的速率流出湖中，污染物浓度为

所以

设初始湖的体积为V(0)=,每秒的流入流出速率固定，则每秒的变化体积变化速率为，则V(t)= +

所以，污染量关于时间的微分方程为

MATLAB进行求解,假设

syms p t rout rin V0 alpha p0

p=dsolve('Dp=alpha-rout*p/(V0+(rin-rout)*t)','p(0)=p0')

解得

p =

(alpha*(V0 + rin*t - rout*t)^(rout/(rin - rout) + 1))/(rin*(V0 + t*(rin - rout))^(rout/(rin - rout))) - (V0*V0^(rout/(rin - rout))*alpha - V0^(rout/(rin - rout))*p0*rin)/(rin*(V0 + t*(rin - rout))^(rout/(rin - rout)))

 

 

4.火箭问题

泰勒公式可以得到

动量守恒

由上二式可得

一级火箭：

为结构质量                                                                         

令 ,得 ,  由于技术原因  ,取,得火箭速度上限为6.6km/s

 

 

理想火箭模型

令，且时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以α与1-α的比例同时进行.动量守恒

泰勒公式得

得

解得

由上式可得，足够大，则可以达到任意速度

 

 

多级火箭卫星系统

设有n级火箭

令

 

···

第1级脱落时

第2级脱落时

第n级脱落时

令

  

  

 ∵

最佳结构问题转化为

当

考虑到多层火箭得技术实现问题，3层火箭经济效益最佳。