python多级索引 python 二级索引

文章目录

• 一、二分查找算法简介
• 二、二分查找算法实现
• 三、二分查找算法效率分析

当给定一个无序的序列时，如果需要在其中查找某目标值，则需要按顺序循环判断序列中的每一个值是否为目标值，这就是所谓的顺序查找法，很显然该算法的最坏时间复杂度为$O(n)$。

当给定一个有序序列且其中的元素均可以通过索引来访问（如下图所示），此时有一种更加高效的查找算法——二分查找。

一、二分查找算法简介

二分查找是针对有序且可索引序列的一种高效查找算法，该算法的核心是重复地将待搜索的区间折半，在查找的开始待搜索区间为整个序列，如果待查找的键小于当前区间中点索引对应的序列值，则将搜索的区间缩小为左半区间，否则将待搜索区间缩小为右半区间。重复该过程直到找到待搜索的键或区间变成空。

为更好的解释上面的描述，下图是对上图所示的有序序列data使用二分查找算法搜索目标值22的过程，其中使用了三个变量来完成查找过程：

• low：待搜索区间最左侧元素的索引；
• high：待搜索区间最右侧元素的索引；
• mid：待搜索期间中点的索引(low+high) // 2。

具体地，二分查找的过程分为以下三个情况：

• 如果目标值等于data[mid]，则mid索引处保存了目标值，查找结束；
• 如果目标值小于data[mid]，则待搜索区间缩小至[low, mid - 1]，查找通过递归方式继续；
• 如果目标值大于data[mid]，则待搜索区间缩小至[mid + 1, high]，查找通过递归方式继续。

需要注意的是，为保证即使目标值不在待查找区间内程序递归调用也可以正常退出，要确保当low > high时程序返回。

二、二分查找算法实现

下面是二分查找算法的Python实现：

def binary_search(data, target, low, high):
    """
    二分查找算法实现
    :param data: 待查找有序序列
    :param target: 目标值
    :param low: 待搜索区间下限
    :param high: 待搜索区间上限
    :return: 查找结果
    """
    if low > high:  # 待搜索区间为空
        return False
    else:
        mid = (low + high) // 2
        if target == data[mid]:
            return True
        elif target < data[mid]:  # 目标值在左半区间
            return binary_search(data, target, low, mid - 1)
        else:  # 目标值在右半区间
            return binary_search(data, target, mid + 1, high)

三、二分查找算法效率分析

二分查找算法的最坏时间复杂度为$O(logn)$，原因在于每一次调用binary_search都执行常数次基本操作，如果假设一开始待搜索区间的元素个数为$n$，则最坏情况下：

• 第1次调用binary_search之后，待搜索区间的元素个数减少至$\left. n\middle/ 2\right.$；
• 第2次调用binary_search之后，待搜索区间的元素个数减少至$\left. n\middle/ 4\right.$；
  $\cdot\cdot\cdot$
• 第$j$次递归调用binary_search之后，待搜索区间的元素个数减少至$\left. n\middle/ 2^j\right.$；
  $\cdot\cdot\cdot$

因此，递归调用的最大次数$r$和元素个数$n$之间的关系为：
${n/2^r}\lt 1$
故$r\gt{logn}$，即$r=\lfloor logn \rfloor+1$，证毕。