Python中从两个数中选取较大的数 python求两个整数中的较大数

文章目录

• 相关位置文件
• 加法的实现
• 减法的实现
• 乘法的实现
• 内存构造
• 内部元素如何存储

• 整数 0
• 整数 1
• 整数 -1
• 整数 1023
• 整数 32767
• 整数 32768
• 小端大端
• 第一个保留位

• small ints

相关位置文件

• cpython/Objects/longobject.c
• cpython/Include/longobject.h
• cpython/Include/longintrepr.h

加法的实现

整数是“数字方式”持久化的，这意味着加法就像我们在小学学到的一样简单，python 的源代码向我们展示了这也是它的实现方式。文件longobject.c中名为x_add的函数执行两个数字的相加。

for (i = 0; i < size_b; ++i) {
        carry += a->ob_digit[i] + b->ob_digit[i];
        z->ob_digit[i] = carry & PyLong_MASK;
        carry >>= PyLong_SHIFT;
    }
    for (; i < size_a; ++i) {
        carry += a->ob_digit[i];
        z->ob_digit[i] = carry & PyLong_MASK;
        carry >>= PyLong_SHIFT;
    }
    z->ob_digit[i] = carry;

上面的代码片段取自x_add函数，您可以看到它遍历数字并执行数字加法并计算和传播进位。

当加法的结果是负数时，事情就变得有趣了。的符号ob_size是整数的符号，这意味着，如果你有一个负数，那么它就是ob_size负数。的绝对值ob_size将决定 中的位数ob_digit。

减法的实现

与加法的实现方式类似，减法也以数字方式进行。文件longobject.c中名为x_sub的函数执行两个数字的减法。

for (i = 0; i < size_b; ++i) {
        borrow = a->ob_digit[i] - b->ob_digit[i] - borrow;
        z->ob_digit[i] = borrow & PyLong_MASK;
        borrow >>= PyLong_SHIFT;
        borrow &= 1; /* Keep only one sign bit */
    }
    for (; i < size_a; ++i) {
        borrow = a->ob_digit[i] - borrow;
        z->ob_digit[i] = borrow & PyLong_MASK;
        borrow >>= PyLong_SHIFT;
        borrow &= 1; /* Keep only one sign bit */
    }

上面的代码片段取自x_sub函数，您可以看到它如何迭代数字并执行减法以及计算和传播 burrow。确实非常类似于加法。

乘法的实现

再一次，实现乘法的天真方法将是我们在小学数学中学到的，但它不会很有效。Python，为了保持高效，实现了Karatsuba 算法，该算法在 O ( nˡᵒᵍ³ ) 基本步骤中将两个 n 位数字相乘。
该算法略显复杂，不在本文讨论范围内，但您可以在 longobject.c 文件中的k_mul和k_loplateral_mul
函数中找到它的实现。

内存构造

在 python3 之后, 就只有一个叫做 int 的类型了, python2.x 的 long 类型在 python3.x 里面就叫做 int 类型

int 在内存空间上的构造和 tuple 元素在内存空间的构造 非常相似

很明显, 只有 ob_digit 这一个位置可以用来存储真正的整数, 但是 cpython 如何按照字节来存储任意长度的整型的呢?

我们来看看

内部元素如何存储

整数 0

注意, 当要表示的整数的值为 0 时, ob_digit 这个数组为空, 不存储任何东西, ob_size 中的 0 就直接表示这个整数的值为 0, 这是一种特殊情况

i = 0

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FYT192S4-1656252681290)(https://github.com/zpoint/CPython-Internals/blob/master/BasicObject/long/0.png)]

整数 1

ob_digit 可以有两种不同的定义, 具体是 uint32_t 还是 unsigned short 取决于操作系统

#if PYLONG_BITS_IN_DIGIT == 30
typedef uint32_t digit;
typedef int32_t sdigit;
typedef uint64_t twodigits;
typedef int64_t stwodigits; /* signed variant of twodigits */
#define PyLong_SHIFT    30
#define _PyLong_DECIMAL_SHIFT   9 /* max(e such that 10**e fits in a digit) */
#define _PyLong_DECIMAL_BASE    ((digit)1000000000) /* 10 ** DECIMAL_SHIFT */
#elif PYLONG_BITS_IN_DIGIT == 15
typedef unsigned short digit;
typedef short sdigit; /* signed variant of digit */
typedef unsigned long twodigits;
typedef long stwodigits; /* signed variant of twodigits */
#define PyLong_SHIFT    15
#define _PyLong_DECIMAL_SHIFT   4 /* max(e such that 10**e fits in a digit) */
#define _PyLong_DECIMAL_BASE    ((digit)10000) /* 10 ** DECIMAL_SHIFT */

我把源代码里的 PYLONG_BITS_IN_DIGIT 的值写死成了 15, 这样我下面所有的示例都是以 unsigned short 定义的 digit

当我们需要表示整数 1 的时候, ob_size 的值变成了1, 这个时候 ob_size 表示 ob_digit 的长度, 并且 ob_digit 里以 unsigned short 的表示方式存储了整数1

i = 1

整数 -1

当 i 变成 -1 时候, 唯一的和整数 1 的区别就是储存在 ob_size 里的值变成了 -1, 这里的负号表示这个整数的正负性, 不影响到 ob_digit 里面的值

i = -1

整数 1023

对于 PyLongObject 来说, 最基本的存储单位是 digit, 在我这里是 2个 byte 的大小(16个bit). 1023 只需要占用最右边的10个bit 就够了, 所以 ob_size 里的值仍然是 1

整数 32767

整数 32768

我们发现, cpython 并不会占用掉一个 digit 的所有的 bit 去存储一个数, 第一个 bit 会被保留下来, 我们后面会看到这个保留下来的 bit 有什么作用

小端大端

注意, 因为 digit 作为 cpython 表示整型的最小存储单元, digit 里面的 byte 存储的顺序和你的机器的顺序一致

而 digit 和 digit 之间则是按照 权重最重的 digit 在最右边 原则存储的(小端存储)

我们来看一看整数值 -262143 的存储方式

负号依旧存储在 ob_size 里面

整数值 262143(2^18 = 262144) 的二进制表示应该是 00000011 11111111 11111111

第一个保留位

为什么 digit 的最左边一位需要保留下来呢? 为什么 ob_digit 里面的 digit 的顺序是按照小端的顺序存储的呢?

我们尝试跑一个简单的加法来理解一下

i = 1073741824 - 1 # 1 << 30 == 1073741824
j = 1

k = i + j

首先, 相加之前会初始化一个中间变量我这里叫做 temp, 他的类型也是 PyLongObject, 并且大小为 max(size(i), size(j)) + 1

第一步, 把两个数 ob_digit 里的第一个坑位里的 digit 加起来, 并加到 carry 里

第二步, 把 temp[0] 里的值设置为 (carry & PyLong_MASK)

第三步, 右移 carry, 值保留下最左边的一位(这一位其实就是之前两个数相加的进位)

第四步, 把两边下一个 ob_digit 的对应位置的值加起来, 并把结果与 carry 相加

第五步, 把 temp[1] 里的值设置为 (carry & PyLong_MASK)

第六步, 再次右移

回到步骤四, 直到两边都没有剩余的 digit 可以相加为止, 把最后的 carry 存储到 temp 最后一格

temp 这个变量此时按照 PyLongObject 的方式存储了前面两个数的和, 现在细心地你应该发现了, 第一个保留位是为了用来相加或者相减的时候作进位/退位 用的, 并且当 digit 和 digit 之间按照小端的方式存储的时候, 你做加减法的时候只需要从左到右处理即可

减法的操作和加法类似, 有兴趣的同学可以自己参考源代码

small ints

cpython 同时也使用了一个全局变量叫做 small_ints 来单例化一部分常见范围的整数, 这么做可以减少频繁的向操作系统申请和释放的次数, 并提高性能

#define NSMALLPOSINTS           257
#define NSMALLNEGINTS           5
static PyLongObject small_ints[NSMALLNEGINTS + NSMALLPOSINTS];

我们来看看

c = 0
d = 0
e = 0
print(id(c), id(d), id(e)) # 4480940400 4480940400 4480940400
a = -5
b = -5
print(id(a), id(b)) # 4480940240 4480940240
f = 1313131313131313
g = 1313131313131313
print(id(f), id(g)) # 4484604176 4484604016