最近“高中Python教学交流”微信群的学习氛围很好，讨论非常热烈。虽然我很少参与讨论，但通过旁观也学到了不少东西。
今天有老师给出了一道分解质因数的题目：从键盘输入一个正整数，对其进行因数分解，例如10=2*5,60=2*2*3*5。
岱山实验学校的李老师给出一段简明易懂的代码(此处稍作简化处理)：
#算法1：一重循环，简单直接num = int(input("请输入要分解的正整数："))result = []x = numi = 2while True: if x == 1: break if x % i == 0: result.append(i) x /= i else: i += 1print(num, '=', '*'.join(map(str, result)))该算法的主要思想是设置一个死循环，不断分解质因数i，并把整除的商作为新的被除数x，直到被除数x的值变成1为止，此时分解结束，跳出循环。
算法1简单明了，但是循环体内的if条件判断和while循环条件判断有些重复，可以把修改循环条件，并把循环体内的条件语句改成while循环语句，使用一个二重循环，可以减少条件判断，并使代码更简洁。改进后代码如下：
#算法2：二重循环，可以减少条件判断，并使代码更简洁num = int(input("请输入要分解的正整数："))result = []x = numi = 2while x >= i: while x % i == 0: result.append(str(i)) x //= i i+= 1print(f'{num} ={"*".join(result)}')当输入num = 999999999999999时，算法1耗时0.671秒，而算法2耗时0.641秒，有了微弱的进步。
能不能进一步改进呢？
回想起在判断某个整数是否为质数时，我们曾经采用过缩小因数i的枚举范围的方法。在算法1和算法2中，因数i的枚举范围均为[2, x]，当x是大质数时，效率很低。我们可以缩小因数i的枚举范围为[2, int(x**0.5)]，以便提高算法效率。此外，为了使代码更简洁，我把外层循环写成了for循环的形式。改进后代码如下：
#算法3：二重循环，外层for循环缩小了因数i的枚举范围num = int(input("请输入要分解的正整数："))result = []x = numfor i in range(2, int(x**0.5)+1): while x % i == 0: result.append(str(i)) x //= iif x > 1:#x本身就是质数 result.append(str(x))print(f'{num} ={"*".join(result)}')看上去代码很简洁，逻辑也很清晰，但运行结果却让我大跌眼镜！
当输入num = 999999999999999时，算法3竟然耗时3.750秒。
这究竟是怎么回事呢？
这时我看到了太原-我爱编程网-刘老师的高效代码：
#算法4：使用递归算法，简洁高效def fenjie(num): x= num i= 2 text = "" while i < int(num ** 0.5) + 1: if num % i == 0: num //= i text += f'{i}*' return text + fenjie(num) else: i += 1 text += str(num) return textnum = int(input("请输入要分解的正整数："))result = str(num) +" = "+fenjie(num)print(result)
刘老师使用了递归算法，效率高的惊人，当输入num = 999999999999999时，耗时几乎为0.0秒。照理说，递归算法的效率是不如循环迭代算法的，那问题究竟出在哪里呢？
仔细观察，原来问题出在算法3的外层for循环上面，Python中for循环可以用来遍历range()函数生成的可迭代序列，该序列的值一开始就确定了，不受循环体内语句的影响，也可以简单地理解成循环的次数一开始就确定了。在本例中，算法3中可迭代序列为range(2, int(x**0.5)+1)，虽然后来在循环体内修改了x的值，但不影响循环的次数。
而算法
4
采用了递归的方法，其参数
num
不断变小，则对应的因数
i
的上限也不断变小，从而大大提高了效率。
搞清楚原因就好办了，我们只需把算法
3
的外层
for
循环改成
while
循环即可，代码如下：
#算法5：把算法3的外层for循环改成while循环num = int(input("请输入要分解的正整数："))result = []x = numi = 2while i <= int(x**0.5): while x % i == 0: result.append(str(i)) x //= i i+= 1if x > 1:#x本身就是质数 result.append(str(x))print(f'{num} = {"*".join(result)}')修改了外层循环的写法以后，算法5效率大大提升，在时间上能与算法4持平，空间复杂度则更低。当输入num = 99999999999999999999999999999999时，算法4和算法5耗时均为0.046875秒，表现出相当高的效率。
至此，我们分析了分解质因数算法的优化过程，指出了提高枚举算法效率的一个重要方法就是减少枚举范围，同时还发现了Python语言中for循环结构的一个特性，希望大家在遇到此类问题时能提高警惕，避免出错。
此外，分解质因数算法在某些特定情况下还可以进一步优化，例如要分解多个整数，或被分解的整数非常大时，我们可以先制作一个质数表，然后只在质数表中枚举质因数，这样可以大大提高效率。当然，制作质数表本身也是需要时间的，我们需要根据问题的规模，选择适合的算法来处理。
