回归问题的前提：

1） 收集的数据

2） 假设的模型，即一个函数，这个函数里含有未知的参数，通过学习，可以估计出参数。然后利用这个模型去预测/分类新的数据。

1. 线性回归

假设 特征 和 结果 都满足线性。即不大于一次方。这个是针对 收集的数据而言。

收集的数据中，每一个分量，就可以看做一个特征数据。每个特征至少对应一个未知的参数。这样就形成了一个线性模型函数，向量表示形式：






向量默认为列向量，此处的X表示一个列向量，其中内容为（x1，x2，x3.......,xn），用以表示收集的一个样例。

向量内容为设置的系数（w1,w2.....,wn），也就是要通过学习得到的系数，转置后成为行向量。两者相乘后得到预测打分h。

这个就是一个组合问题，已知一些数据，如何求里面的未知参数，给出一个最优解。 一个线性矩阵方程，直接求解，很可能无法直接求解。有唯一解的数据集基本是不存在的。基本上都是解不存在的超定方程组（未知数的个数小于方程的个数）。因此，需要退一步，将参数求解问题，转化为求最小误差问题，求出一个最接近的解，这就是一个松弛求解。

求一个最接近解，直观上，就能想到，误差最小的表达形式。仍然是一个含未知参数的线性模型，一堆观测数据，其模型与数据的误差最小的形式，模型与数据差的平方和最小：






这就是损失函数（cost function）的来源，文中之后我们称之为目标函数。接下来，就是求解这个函数最小值的方法，有最小二乘法，梯度下降法等（利用这些方法使这个函数的值最小）。

**********最小二乘法：************

多元函数求极值的方法，对θ求偏导，让偏导等于0，求出θ值。当θ为向量时，需要对各个θi求偏导计算。

为了便于理解，可以先看当数据集中的样本只有一个特征时的情况，参看之前的最小二乘法博文，可以直接得出theta的值（原先博文中表示为beta）。当含有多个特征时，需要进行矩阵计算从而求出各个θi:






如上图中将目标函数拆解为两个式子相乘的形式（





）其中的X表示获取的数据集转换成的矩阵，与列向量

相乘后得到预测打分（列向量θ），与真实打分y向量想减后平方。上图中的下半部分对于拆解后的目标函数进行求导，令求导后的式子=0，如下图:





由此可以得到向量θ的值。

其中补充说明:










*****************梯度下降法：**************************

分别有梯度下降法，批梯度下降法，增量梯度下降。本质上，都是偏导数，步长/最佳学习率，更新，收敛的问题。这个算法只是最优化原理中的一个普通的方法，可以结合最优化原理来学，就容易理解了。（梯度下降中用到的目标函数不一定是之前提到的那个距离最小函数，在之后的逻辑回归中，要用到梯度上升，在那里细述）


******************极大似然法************************************

极大似然的核心思想为：

当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。打个比方：一个袋子中有20个球，只有黑白两色，有放回的抽取十次，取出8个黑球和2个白球，计算袋子里有白球黑球各几个。那么我会认为我所抽出的这个样本是被抽取的事件中概率最大的。p（黑球=8）=p^8*（1-p）^2,让这个值最大。极大似然法就是基于这种思想。


极大似然估计的定义如下：
































求解方法同样采用多元函数求极值法。

2、逻辑回归

逻辑回归与线性回归的联系、异同？

逻辑回归的模型 是一个非线性模型，sigmoid函数，又称逻辑回归函数。但是它本质上又是一个线性回归模型，因为除去sigmoid映射函数关系，其他的步骤，算法都是线性回归的。可以说，逻辑回归，都是以线性回归为理论支持的。只不过，线性模型，无法做到sigmoid的非线性形式，sigmoid可以轻松处理0/1分类问题。

在另一篇博文（logistic）中有对逻辑回归的详细说明。在逻辑回归中，重新定义了cost function，

另外它的推导含义：仍然与线性回归的最大似然估计推导相同，最大似然函数连续积（这里的分布，可以使伯努利分布，或泊松分布等其他分布形式），求导，得损失函数。

（参看logistic那篇博文）





3、一般线性回归（这部分尚未做过多研究）

线性回归 是以 高斯分布 为误差分析模型； 逻辑回归 采用的是 伯努利分布 分析误差。

而高斯分布、伯努利分布、贝塔分布、迪特里特分布，都属于指数分布。





而一般线性回归，在x条件下，y的概率分布 p(y|x) 就是指 指数分布.

经历最大似然估计的推导，就能导出一般线性回归的 误差分析模型（最小化误差模型）。

softmax回归就是 一般线性回归的一个例子。

有监督学习回归，针对多类问题（逻辑回归，解决的是二类划分问题），如数字字符的分类问题，0-9,10个数字，y值有10个可能性。

而这种可能的分布，是一种指数分布。而且所有可能的和 为1，则对于一个输入的结果，其结果可表示为：






参数是一个k维的向量。

而代价函数：





是逻辑回归代价函数的推广。

而对于softmax的求解，没有闭式解法（高阶多项方程组求解），仍用梯度下降法，或L-BFGS求解。

当k=2时，softmax退化为逻辑回归，这也能反映softmax回归是逻辑回归的推广。

线性回归，逻辑回归，softmax回归 三者联系，需要反复回味，想的多了，理解就能深入了。

4. 拟合：拟合模型/函数

由测量的数据，估计一个假定的模型/函数。如何拟合，拟合的模型是否合适？可分为以下三类

合适拟合

欠拟合

过拟合

看过一篇文章（附录）的图示，理解起来很不错：

欠拟合：





合适的拟合





过拟合





过拟合的问题如何解决？

问题起源？模型太复杂，参数过多，特征数目过多。

方法： 1） 减少特征的数量，有人工选择，或者采用模型选择算法

（特征选择算法的综述）

2） 正则化，即保留所有特征，但降低参数的值的影响。正则化的优点是，特征很多时，每个特征都会有一个合适的影响因子。

7. 错误函数/代价函数/损失函数：

线性回归中采用平方和的形式，一般都是由模型条件概率的最大似然函数 概率积最大值，求导，推导出来的。

统计学中，损失函数一般有以下几种：

1） 0-1损失函数

L(Y,f(X))={1,0,Y≠f(X)Y=f(X)

2） 平方损失函数

L(Y,f(X))=(Y−f(X))2

3） 绝对损失函数

L(Y,f(X))=|Y−f(X)|

4） 对数损失函数

L(Y,P(Y|X))=−logP(Y|X)

损失函数越小，模型就越好，而且损失函数 尽量 是一个凸函数，便于收敛计算。

线性回归，采用的是平方损失函数。而逻辑回归采用的是 对数 损失函数。 这些仅仅是一些结果，没有推导。

8. 正则化：

为防止过度拟合的模型出现（过于复杂的模型），在损失函数里增加一个每个特征的惩罚因子。这个就是正则化。如正则化的线性回归 的 损失函数：





lambda就是惩罚因子。

正则化是模型处理的典型方法。也是结构风险最小的策略。在经验风险（误差平方和）的基础上，增加一个惩罚项/正则化项。

线性回归的解，也从

θ=(XTX)−1XTy

转化为





括号内的矩阵，即使在样本数小于特征数的情况下，也是可逆的。

逻辑回归的正则化：





从贝叶斯估计来看，正则化项对应模型的先验概率，复杂模型有较大先验概率，简单模型具有较小先验概率。这个里面又有几个概念。

什么是结构风险最小化？先验概率？模型简单与否与先验概率的关系？

逻辑回归logicalistic regression 本质上仍为线性回归，为什么被单独列为一类？

其存在一个非线性的映射关系，处理的一般是二元结构的0，1问题，是线性回归的扩展，应用广泛，被单独列为一类。

而且如果直接应用线性回归来拟合逻辑回归数据，就会形成很多局部最小值。是一个非凸集，而线性回归损失函数 是一个 凸函数，即最小极值点，即是全局极小点。模型不符。





若采用 逻辑回归的 损失函数，损失函数就能形成一个 凸函数。





多项式样条函数拟合

多项式拟合，模型是一个多项式形式；样条函数，模型不仅连续，而且在边界处，高阶导数也是连续的。好处：是一条光滑的曲线，能避免边界出现震荡的形式出现（龙格线性）

http://baike.baidu.com/view/301735.htm

以下是几个需慢慢深入理解的概念：

无结构化预测模型

结构化预测模型

什么是结构化问题？

adaboost， svm， lr 三个算法的关系。

三种算法的分布对应 exponential loss（指数 损失函数）， hinge loss， log loss（对数损失函数）， 无本质区别。应用凸上界取代0、1损失，即凸松弛技术。从组合优化到凸集优化问题。凸函数，比较容易计算极值点。