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mob64ca14092155 2024-08-12 15:13:12

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模拟退火算法

简介

模拟退火算法(Simulate Anneal，SA)是一种通用概率演算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。其思想借鉴于固体的退火原理，当固体的温度很高的时候，内能比较大，固体的内部粒子处于快速无序运动，当温度慢慢降低的过程中，固体的内能减小，粒子的慢慢趋于有序，最终，当固体处于常温时，内能达到最小，此时，粒子最为稳定。模拟退火算法便是基于这样的原理设计而成。

套用知乎上的形象描述：

一个锅底凹凸不平有很多坑的大锅，晃动这个锅使得一个小球使其达到全局最低点。一开始晃得比较厉害，小球的变化也就比较大，在趋于全局最低的时候慢慢减小晃锅的幅度，直到最后不晃锅，小球达到全局最低。

爬山算法

介绍模拟退火，一般会提到爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。

如上图所示，如果是简单的爬山算法，那么从出发点开始，遇到A就不会再爬了(肯定不会往D移动)，因为A是其附近的一个比较高的点，再往两边走都会下降。这就是陷入了局部最优解。爬山算法可以说是完全“贪心”的，鼠目寸光，丝毫不知道后面还有C等着它。

模拟退火思想

事实上，与爬山算法相似，模拟退火也是一种贪心算法，但它到达A之后，有一定概率往D移动，并且随着时间推移(温度逐渐下降)，这个概率会逐渐降低(这样最终才能稳定)。这个过程很像金属退火的那个过程，故退火算法因此得名。那么这个一定概率怎么表达呢，根据热力学原理，在温度为T时，出现能量差降温的概率为：

p(ΔE)=e−ΔEkT" role="presentation">p(ΔE)=e−ΔEkTp(ΔE)=e−ΔEkT

p(Δx)=e−ΔxT(ify|x=x0+Δx<y|x=x0)" role="presentation">p(Δx)=e−ΔxT(ify|x=x0+Δx

有趣的比喻

爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。(非常懒，一开始看到比现在高的就接受)

模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。(一开始很激动，到处试探，变化大。后面心累了，逐渐减缓了步伐，朝向此时此刻的最高点爬去)

算法实现

这里用SA来求解y=10×sin(5x)+7×cos(4x)" role="presentation">y=10×sin(5x)+7×cos(4x)y=10×sin(5x)+7×cos(4x)在的x=0和10" role="presentation">x=0和10x=0和10之间的最大值

算法步骤:

1.初始化温度T" role="presentation">TT、降温系数α" role="presentation">αα、最小温度Tmim" role="presentation">TmimTmim以及一个随机的可行解(x,y)" role="presentation">(x,y)(x,y)

2.当T>Tmim" role="presentation">T>TmimT>Tmim，进行下面步骤，否则返回结果

3.随机发生扰动Δx" role="presentation">ΔxΔx

4.计算发生扰动后的Δy值" role="presentation">Δy值Δy值，大于0就接受这个扰动，小于0就以p(Δx)=e−ΔxT" role="presentation">p(Δx)=e−ΔxTp(Δx)=e−ΔxT概率接受。

5.更新最佳(x,y)" role="presentation">(x,y)(x,y)

5.循环步骤3到4 n次(自己设定的参数)。

6.T=αT" role="presentation">T=αTT=αT

7.返回步骤2

import matplotlib.pyplot as plt
import math
import random
"""

函数里面所有以plot开头的函数都可以注释掉，没有影响

求解的目标表达式为：

y = 10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x) x belongs to (0,10)
"""
def main():
plot_obj_func()
T_init = 100 # 初始最大温度
alpha = 0.90 # 降温系数
T_min = 1e-3 # 最小温度，即退出循环条件
T = T_init
x = random.random() * 10 # 初始化x，在0和10之间
y = 10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x)
results = [] # 存x，y
while T > T_min:
x_best = x
# y_best = float('-inf') # 设置成这个有可能会陷入局部最优，不一定全局最优
y_best = y # 设置成这个收敛太快了，令人智熄
flag = 0 # 用来标识该温度下是否有新值被接受
# 每个温度迭代50次，找最优解
for i in range(50):
delta_x = random.random() - 0.5 # 自变量进行波动
# 自变量变化后仍要求在[0,10]之间
if 0 < (x + delta_x) < 10:
x_new = x + delta_x
else:
x_new = x - delta_x
y_new = 10 * math.sin(5 * x_new) + 7 * math.cos(4 * x_new)
# 要接受这个y_new为当前温度下的理想值，要满足
# 1y_new>y_old
# 2math.exp(-(y_old-y_new)/T)>random.random()
# 以上为找最大值，要找最小值就把>号变成<
if (y_new > y or math.exp(-(y - y_new) / T) > random.random()):
flag = 1 # 有新值被接受
x = x_new
y = y_new
if y > y_best:
x_best = x
y_best = y
if flag:
x = x_best
y = y_best
results.APPend((x, y))
T *= alpha
print('最优解 x:%f,y:%f' % results[-1])
plot_final_result(results)
plot_iter_curve(results)
# 看看我们要处理的目标函数
def plot_obj_func():
"""y = 10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x)"""
X1 = [i / float(10) for i in range(0, 100, 1)]
Y1 = [10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x) for x in X1]
plt.plot(X1, Y1)
plt.show()
# 看看最终的迭代变化曲线
def plot_iter_curve(results):
X = [i for i in range(len(results))]
Y = [results[i][1] for i in range(len(results))]
plt.plot(X, Y)
plt.show()
def plot_final_result(results):
X1 = [i / float(10) for i in range(0, 100, 1)]
Y1 = [10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x) for x in X1]
plt.plot(X1, Y1)
plt.scatter(results[-1][0], results[-1][1], c='r', s=10)
plt.show()
if __name__ == '__main__':
# for i in range(100):
main()

运行结果

初始温度T=100" role="presentation">T=100T=100

降温系数α=0.90" role="presentation">α=0.90α=0.90

每个T里面再循环50" role="presentation">5050次取当前温度最佳

得到全局最优的概率大概有100%" role="presentation">100%100%

运行得到的最优解：

收敛之快令人发指：

后话

这里不知道改了什么，同样一个目标函数，用遗传算法和模拟退火效率截然不同。大概是弄错了吧2333，毕竟水平有限。这么一对比，似乎退火在解决这种弱智问题上还好用点。不过其实仔细想下，两个算法各自的优缺点还是比较明显的。

遗传算法：优点是能很好的处理约束，能很好的跳出局部最优，最终得到全局最优解，全局搜索能力强；缺点是收敛较慢，局部搜索能力较弱，运行时间长，且容易受参数的影响。(一次放了一堆兔子，品种不好的就把人家丢掉)

模拟退火：优点是局部搜索能力强，运行时间较短；缺点是全局搜索能力差，容易受参数的影响。(一次只放一只喝醉酒的兔子，酒醒之时即是远方)