文章目录
- 递归
- 数组求和
- 汉诺塔问题
- 计算阶乘
- 计算组合数
- Coding Challenge
- Fizz
- FizzBuzz
- FizzBuzzPrime
- FizzBuzzPrimePi
递归
递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法。
递归算法的实质是把问题分解为规模更小的同类子问题，然后递归调用方法来表示问题的解。
- 该问题的解可以分解为几个子问题的解；
- 这个问题与分解后的子问题，除了数据规模的不同，求解思路完全一样；
- 存在递归终止条件，即，必须有一个明确的递归结束条件，称之为递归出口。
数组求和
对 1 到 n 这 n 个数字进行求和，可以看做是 n 加上 1 到 n-1 这 n-1 个数字求和的结果；并以此逐步分解，直到最后是 0 与 1 进行求和。
def sum_func(n):
if n == 1:
return 1
else:
return n + sum_func(n-1)汉诺塔问题
汉诺塔是典型的可以用 分治算法 解决的问题，以下内容是采用分治思想的递归算法。
问题描述：
有三个盘座A、B、C，A上有64个盘子，盘子大小不等，大在下，小在上。若要把盘子从A移到B，每次只能移动一个，且移动过程中，3个座上始终保持：大在上，小在下。
问题分析：
- 如果只有一个盘子，则不需要借助C，直接从A移动到B。
- 如果只有两个盘子，则可以先把A的最上面一个盘子2移动到C；再将盘子1移动到B；然后将盘子2移动到B。这说明了借助C可以将2个盘子从A移动到B；同样，也说明借助B可以将2个盘子从A移动到C。
- 如果有3个盘子，那么根据2个盘子的结论，可以借助B将盘子1上的两个盘子（盘子2和盘子3）从A移动到C；将盘子1从A移动到B，A则变为空座；借助A座，将C上的两个盘子移动到B。
- 以此类推，上述思路可以扩展到 n 个盘子的情况，将较小的 n-1 个盘子看做一个整体，也就是我们要求的子问题，初始A上有 n 个盘子，B、C上为空；可以借助B，将A上面的 n-1 个盘子从A移动到C；将A上最大的盘子1移动到B，A为空座；可以借助B，将C上的 n-2 个盘子从C移动到A；将C上最大的盘子2（从整体看，为第二大）移动到B，C为空座；…
代码示例：
def move(n, source, target):
print('The', n, 'th', 'plate move: ', source, '------>', target)
def hanoi(n, source, temp, target):
if n == 1:
# only one plate, move it directly from source to target
move(n, source, target)
else:
# move the top n-1 plates from source to temp through target
hanoi(n-1, source, target, temp)
# move the n plate(the largest and lowest plate) from source to target
move(n, source, target)
# move the top n-1 plates from temp to target through source
hanoi(n-1, temp, source, target)
hanoi(3, 'A', 'C', 'B')计算阶乘
# 实现阶乘
def factorial_z(n):
if n == 1:
return n
return n*factorial_z(n-1)计算组合数
# 求组合数
def combination_z(n, m):
if m == n:
return 1
elif m == 1:
return n
else:
return combination_z(n-1, m-1) + combination_z(n-1, m)在不使用标准库的情况下，为
def factorial(n):
if n==0:
return 1
return (n * factorial(n-1) )
def nCr(n,k):
return factorial(n)/(factorial(k) * factorial(n-k))对于大的数字，存在更好的解决方案，没有必要三次调用阶乘函数。
此外，如果分子和分母都很大，很可能会发生数字溢出。
def nCr_norecur(n,k):
r=1
for i in range(k):
r *= n-i
r = r / (i+1)
return rCoding Challenge
Fizz
给你一个整数比如 100，需要输出一个列表。列表中的每个元素，如果能被 3 整除则输出 ‘Fizz’。
def fizz(n):
res = []
for i in range(1, n + 1):
if i % 3 == 0:
res.append('Fizz')
else:
res.append(str(i))
return resFizzBuzz
给你一个整数比如 100，需要输出一个列表。列表中的每个元素，如果能被 3 整除则输出 ‘Fizz’，如果被 5 整除则输出 ‘Buzz’，如果能同时被 3 和 5 整除，则输出 ‘FizzBuzz’。
def fizzbuzz(n):
res = []
for i in range(1, n + 1):
if i % 3 == 0 and i % 5 == 0:
res.append('FizzBuzz')
elif i % 3 == 0 and i % 5 != 0:
res.append('Fizz')
elif i % 3 != 0 and i % 5 == 0:
res.append('Buzz')
else:
res.append(str(i))
return resFizzBuzzPrime
在 FizzBuzz 的基础上，识别质数。如果是质数，则输出为 “Prime”。所以代码中我们需要新增一个判断是否为质数的 Function。
def is_prime(n):
if n == 1:
return False
else:
for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
if n % i == 0:
return False
else:
return True
def fizzbuzzprime(n):
res = []
for i in range(1, n + 1):
if is_prime(i):
res.append('Prime')
elif i % 3 == 0 and i % 5 == 0:
res.append('FizzBuzz')
elif i % 3 == 0:
res.append('Fizz')
elif i % 5 == 0:
res.append('Buzz')
else:
res.append(str(i))
return resFizzBuzzPrimePi
在 FizzBuzzPrime 的基础上， 如果数字是 ‘Pi’ 前 n 位字符串的一个连续子集，则需要输出 ‘Pi’。
题目会给定 n 和 p 两个数字，比如 n=15，p=3。那么答案是 [‘Pi’, ‘Prime’, ‘Pi’, ‘Pi’, ‘Buzz’, ‘Fizz’, ‘Prime’, ‘8’, ‘Fizz’, ‘Buzz’, ‘Prime’, ‘Fizz’, ‘Prime’, ‘Pi’, ‘FizzBuzz’]。
题目中的 1, 3, 4, 14都输出为 “Pi”，是因为题目给定 p=3，也就是说只要是 314 的连续子集，则对应位置的数字要输出为 ‘Pi’。（如果 p=4，则只要是 3141 的连续子集，则对应位置的数字要输出为 ‘Pi’）。
- 问题就在于怎么样计算 pi，因为 math 模块中的 pi 只精确到小数点后 16 位，当题目中 p 大于 17 时就无法使用 python 内置的 pi。
- 考虑 n 和 p 之间的关系，是否存在一个值，当 p 大于这个值时，所有 n 的输出都是 pi？
