第三章:二维随机变量
3.1 二维随机变量
3.1.1 定义1
设试验 \(E\) 的样本空间为 \(S=\{e\}\),而 \(X=X(e),Y=Y(e)\) 是定义在 \(S\) 上的两个随机变量。称由这两个随机变量组成的向量 \((X,Y)\) 为二维随机变量或二维随机向量。
3.1.2 定义2
设 \((X,Y)\) 为二维随机变量,对任意实数 \(x,y\),二元函数 \(F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}\) 称为二维随机变量的分布函数,或称为随机变量 \(X\) 与 \(Y\)。
分布函数 \(F(x,y)\)
(1) 定义域:\(-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty\)
- 取值范围:\(0\leq F(x,y)\leq 1\)
- 特殊值:
\[\begin{aligned} &F(-\infty,-\infty)=0\\ &F(+\infty,+\infty)=1\\ &F(x,-\infty)=0\\ &F(-\infty,y)=0 \end{aligned} \]
(2) \(F(x,y)\) 对 \(x\) 或 \(y\)
(3) \(F(x,y)\) 对 \(x\) 或 \(y\)
(4) 对任意实数 \(x_1<x_2,y_1<y_2\)
\[\begin{aligned} 0&\leq P\{x_1<X\leq x_2,y_1< Y \leq y_2\}\\ &=F(x_2,y_2)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1) \end{aligned} \]
反之:凡是满足性质(1)~(4)的二元函数 \(F(x,y)\)
3.1.3 定义3
设试验 \(E\) 的样本空间为 \(S=\{e\}\),而 \(X_i=X_i(e)\) 是定义在 \(S\) 上的随机变量,\(i=1,2,...,n\) 由这 \(n\) 个随机变量构成的有序随机变量组 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 称为 \(n\)
设 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 为 \(n\) 维随机变量,对任意实数 \(x_1,x_2,...,x_n\),\(n\) 元函数 \(F(x_1,x_2,...,x_n)=P\{X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,...,X_n\leq x_n\}\) 称为 \(n\) 维随机变量 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 的分布函数或n个随机变量 \(X_1,X_2,...,X_n\)
3.2 二维离散型随机变量
3.2.1 定义
若二维随机变量 \((X,Y)\) 的取值为有限对或可列对 \((x_i,y_j),i,j=1,2,...\),则称 \((X,Y)\)
3.2.2 分布律
记 \(P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}, i,j=1,2,...\)
称为二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的(概率)分布律,或称为 \(X\) 和 \(Y\) 的联合(概率)分布律。
分布律的表示法:(1)公式法;(2)列表法
3.2.3 性质
- \(p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\}\geq 0,i,j=1,2,...\)
- \(\sum\limits_{i,j}p_{ij}=1\)
3.2.4 定理
设 \((X,Y)\)
\(P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}, i,j=1,2,...\)
则随机点 \((X,Y)\) 落在平面上任一区域 \(D\)
\[P\{(X,Y)\in D\}=\sum\limits_{(x_i,y_i)\in D}p_{ij} \]
其中和式是对所有使 \((x_i,y_i)\in D\) 的 \(i,j\)
3.3 二维连续型随机变量
3.3.1 定义
设二维随机变量 \((X,Y)\) 的分布函数为 \(F(x,y)\),若有非负可积函数 \(f(x,y)\),使得对任意实数 \(x,y\), 恒有
\[F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^xf(u,v)\,dudv \]
则称 \((X,Y)\) 是二维连续型随机变量,函数 \(f(x,y)\) 称为二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度,或称为随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的联合概率密度。
3.3.2 性质
\(X,Y\) 的概率密度 \(f(x,y)\)
\[f(x,y)\geq 0\qquad -\infty<x,y<+\infty \]
\[\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)\,dxdy=F(+\infty,+\infty)=1 \]
反之, 若二元函数$f(x,y)$满足上面两条基本性质,则它一定是某个二维随机变量$(X,Y)$的概率密度
- 如果概率密度\(f(x,y)\)在点\((x,y)\)处连续, 则有
\[\dfrac{\part^2F}{\part x\part y}(x,y)=f(x,y) \]
3.2.3 用概率密度计算概率
定理:设 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\)
- 设 \(D\)
\[P\{(X,Y)\in D\}=\iint\limits_{D}f(x,y)\,dxdy \]
\[F(x,y)=\iint\limits_{u\leq x\\v\leq y}f(u,v)\,dudv \]
\[P\{a<X\leq b,c<Y\leq d\}=\int^b_a\int^d_cf(x,y)\,dydx \]
3.2.4 常用的二维连续型随机变量有下面几种:
均匀分布
若二维连续型随机变量 \((X,Y)\)
\[f(x,y)= \left\{\begin{aligned} &\dfrac{1}{A},&&(x,y)\in D\\ &0,&&其它 \end{aligned} \right. \]
其中 \(A\) 为有界区域 \(D\) 的面积。则称 \((X,Y)\) 在区域 \(D\) 上服从均匀分布,记为 \((X,Y)\sim U(D)\)
二维正态分布
若随机变量 \((X,Y)\)
\[f(x,y)=\dfrac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\cdot\exp\Big\{-\dfrac{1}{2(1-\rho^2)}\Big[\Big(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma_1}\Big)^2-2\rho\dfrac{x-\mu_1}{\sigma_1}\dfrac{y-\mu_2}{\sigma_2}+\Big(\dfrac{y-\mu_2}{\sigma_2}\Big)^2\Big]\Big\} \]
其中 \(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho\) 的二维正态分布,记作 \((X,Y)\sim N(\mu_1,\sigma_1^2;\mu_2,\sigma^2_2;\rho)\)
3.3 边沿分布函数(或边缘分布函数)
定义:
设二维随机变量 \((X,Y)\) 的分布函数 \(F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}\)(分量 \(X\) 与 \(Y\)
分量 \(X\)
\[\begin{aligned} p\{X\leq x\}&=P\{X\leq x,Y<+\infty\}\\ &=\lim\limits_{y\rightarrow+\infty}P\{X\leq x,Y\leq y\}\\ &=\lim\limits_{y\rightarrow+\infty}F(x,y)\\ &=F(x,+\infty)\\ &\triangleq F_X(x) \end{aligned} \]
称 \(F_X(x)\) 为 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 的边沿分布函数。
分量 \(Y\) 的分布函数:
\[P\{Y\leq y\}=F(+\infty,y)=F_Y(y) \]
称 \(F_Y(y)\) 为 \((X,Y)\)
注:
已知联合分布函数 \(F(x,y)\),可以计算出边沿分布函数 \(F_X(x),F_Y(y)\)
但由 \(X,Y\) 各自的分布函数 \(F_X(x),F_Y(y)\),一般无法确定联合分布函数 \(F(x,y)\)
3.3.1 边沿分布律
定义:
二维离散型随机变量 \((X,Y)\),分量 \(X\) 和分量 \(Y\) 都是离散型随机变量, \(X\) 的分布律称为 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 的边沿分布律;\(Y\) 的分布律称为 \((X,Y)\) 关于 \(Y\)
边沿分布律的计算:
\(P\{X=x_i\}=\sum\limits_j p_{ij}=p_i\)
\((X,Y)\)关于\(X\)的边沿分布律:联合分布律表中各行概率相加。
\(P\{Y=y_j\}=\sum\limits_ip_{ij}=p_j\)
\((X,Y)\)关于\(Y\)的边沿分布律:联合分布律表中各列概率相加.
3.3.2 条件分布律
在已知一个分量取某一定值的条件下,另一个分量的分布律称为条件分布律。
定义
设二维离散型随机变量 \((X,Y)\)
\[P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}\qquad i,j=1,2,... \]
(1) 若 \(P\{X=x\}>0\)
\[P\{Y=y_j|X=x\}=\dfrac{P\{X=x,Y=y_j\}}{P\{X=x\}}\qquad j=1,2,... \]
称为在 \(X=x\) 的条件下,\(Y\)
(2) 若 \(P\{Y=y\} > 0\)
\[P\{X=x_i|Y=y\}=\dfrac{P\{X=x_i,Y=y\}}{P\{Y=y\}}\qquad i=1,2,... \]
称为在 \(Y=y\) 的条件下,\(X\)
3.4 边沿概率密度和条件概率密度
3.4.1 边沿概率密度
二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\)
- \((X,Y)\) 关于 \(X\) 的边沿概率密度为 \(f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)\,dy\)
- \((X,Y)\) 关于 \(Y\) 的边沿概率密度为 \(f_Y(y)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)\,dx\)
3.4.2 条件概率密度
\[f_{X|Y}(x|y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\qquad(f_Y(y)\ne 0,x\in (-\infty,+\infty))\\ f_{Y|X}(y|x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}\qquad(f_X(x)\ne 0,y\in (-\infty,+\infty)) \]
3.5 相互独立的随机变量
设 \(X,Y\) 为两个随机变量,若对任意实数 \(x,y\),有
\[P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}\cdot P\{Y\leq y\} \]
则称 \(X\) 与 \(Y\)
3.5.1 离散型随机变量相互独立的判别定理
设二维离散型随机变量 \((X,Y)\)
\[P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{i,j} \]
则 \(X\) 与 \(Y\)
\[p_{ij}=p_i\cdot p_j \]
3.5.2 连续型随机变量相互独立的判别定理
设二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为\(f(x,y)\),\(f_X(x),f_Y(y)\)分别是 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 和 \(Y\)
则 \(X\) 与 \(Y\)
\[f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y) \]