同态加密的发展的思想与优化

  • 1.不安全的特征值方法的提出

    -2.加入随机噪声解决安全性后变成困难的LWE问题（格密码相关，量子力学不可破解），但误差不可控

    3.使用二进制转化后，对应范数变小，但仍会随着迭代次数增大而误差爆炸

    问题来了：我们如何让它多轮同态加密也不会出现误差爆炸的情况呢？

Alice的珠宝店

Alice开了⼀家珠宝店，主要业务是把不同的珠宝（钻⽯、⻩⾦）加⼯成⾸饰卖给客户； Alice雇佣了员⼯Bob负责加⼯的⼯作，但是⼜担⼼Bob会私藏加⼯原料； Alice想出⼀个精妙的idea： 买来了⼀个⼿套箱，箱体有两个带有⼿套的洞，⼿可以伸进箱⼦内操作箱内空间的物品，箱⼦有⼀个单 向的进⼝，没有钥匙的⼈只能将物体投⼊箱内，⽽⽆法取出箱内的物体。Alice保管着箱⼦的钥匙。 然⽽这个箱⼦存在⼏个问题：

  • 戴上⼿套的Bob的⼯作效率有所下降；
  • Bob⽆法将将加⼯完的⾸饰交给顾客，需要Alice的操作；
  • 致命的问题：⼿套箱具有⼀定的使⽤寿命，只能在箱⼦内加⼯珠宝 L 次；
    Alice的平⾏世界：FHE（⼿套箱与FHE的共性） 1. Alice拥有⼿套箱的钥匙，可以打开箱⼦取出其中的物品（FHE的解密正确性）；
  • Bob可以将东⻄投⼊箱中，但是⽆法取出东⻄（FHE是安全的公钥加密系统，任意第三⽅可以创建密 ⽂但⽆法解开密⽂）；
  • Bob通过⼿套操作箱内的原材料，效率⼤幅降低（同态计算的⾼开销）；
  • ⼿套箱具有⼀定的使⽤寿命（基于Lattice的FHE系统中噪声累积与上限）；

针对箱⼦具有使⽤寿命这⼀致命问题，Alice⼜想出⼀个绝妙的⽅法： 假如Alice事先预估出Bob加⼯⼀件⾸饰所需要消耗的⼿套箱个数是2，于是准备了两个⼿套箱A和B， Alice保留了箱B的钥匙并将箱A的钥匙放⼊了B箱之中；

  • 如此⼀来，当Bob在箱A中加⼯操作达到损耗阈值的时候，就把箱A放⼊箱B中，并在箱B中使⽤提前放⼊ 的钥匙打开箱A，取出半成品继续加⼯；
  • Alice的这个想法，构成了Bootstrapping的设想： 把⼀个满噪⾳的FHE密⽂加密进另⼀个FHE密⽂中，并采⽤同态运算FHE的解密算法，将内层的密⽂解密 为原⽂，就能获得⼀个全新的低噪⾳的FHE密⽂。实现了密⽂噪⾳的刷新。

同态加密算法库 同态加密的缺点_同态加密算法库

  • bob一开始只能把手伸进去A进行加密的操作
  • 但是一段时间后A的误差爆炸
  • 所以alice就把A的key塞进B中
  • 再让bob把手放进B中操作
  • bob先通过A的key解开A盒子，这样化解了大的误差
  • 再继续在B中进行下一轮的同态加密
  • 以此类推，不停地套
  • 这就是bootrapping，是不是就能理解成套娃？

一个更优的方案

上述alice的做法要套很多层，我们可以优化到在两个盒子之间轮流套娃即可
具体步骤如下：

  • 为了实现任意深度的Bootstrapping链条，可以⽣成循环利⽤的公钥来实现⽆限次的加密解密； 例如⼀个双密钥的循环系统： (pk1, sk1),(pk2, sk2) ，我们公开 sk1 在 pk2 下加密的密⽂ ctsk1 和 sk2 在 pk1 下加密的密⽂ ctsk2 ；
  • 当第⼆层的密⽂（ Enc(pk2, m) ）的噪声达到上限的时候，可以先在 pk1 下加密，然后再同态地解 密内层使⽤ pk2 加密的密⽂ Eval(Decctsk2 , Enc(pk1, Enc(pk2, m))) → Enc(pk1, m) ；
  • 当第三层的密⽂（ Enc(pk1, m) ）的噪声达到上限时，可以采⽤重复的类似操作；
  • 需要关注的安全性问题：在⼀个密钥循环体系中，使⽤了不同的公钥加密另外的私钥并公开密⽂，这样 的操作是否会暴露额外的信息，从⽽⾜以露出破绽让⼈破解使⽤的公钥加密系统；
  • 密钥循环安全假设：1-Circular Security、2-Circular Security 等。⽬前，我们仍然相信这个假设是安全的；

总结

对于初学者来说
同态加密的细节不用细究
重要是理解它的一个演进的过程
什么样的方法有什么样的劣势，怎么样提出新的方法可以解决这个劣势
新的方法又有怎么样的劣势。。。这些劣势解决不了咋办
然后就要进行思想性的创造
有什么重要的思想：这里的核心思想就是套娃，从而及时降低误差爆炸
但还有可能会有很长的链条
最后优化成两个节点之间的互相套娃即可
整个的思维过程还是比较有意思的