算法 - 最短路径（一）- Floyd
- 核心代码
- 算法过程详解
- 基本思想
- 需要注意
核心代码
floyd的核心代码极度简单，时间复杂度为O(n3)，代码实现部分只有五行：
for(k=0;k<=n;k++) //遍历可经过的中点k
for(i=0;i<=n;i++) //遍历起点i
for(j=0;j<=n;j++) //遍历终点j
if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j]) //判断是否是最短路径
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j]; //从i到j经过k的最短路径
算法过程详解
假设存在图如下图所示：
我们需要找出任意一点到另一点的最短路径。
首先需要用一个数据结构来存储图的信息，可以用4x4的矩阵来存储。比如节点1到节点2直接的路程为2，则设d[1][2]=2；2号节点不能直接到4号节点，则设d[2][4]=99999；另外，1号节点到自己的路程为0，所以d[1][1]=0。则矩阵如下图所示：
回到最短路径的问题：若要缩短点i到点j之间的距离，必须要引入第三个点（点k），并通过这个顶点进行中转：i -> k -> j。这样才能缩短原来从点i到点j之间的距离。即：d[i][k] + d[k][j] < d[i][j]。那么问题来了，这个点k应该怎么找到呢？
对于Floyd算法，找法是简单粗暴的：简单来说就是逐个点进行遍历。
我们首先考虑，但任意两点之间不能经过第三个点中转时，点与点之间的最短路径就是上图矩阵中的值。
现在加一个条件：若只允许经过1号节点，求任意两点之间的最短路程，应该如何求呢？只需要判断d[i][1] + d[1][j]的值是否比d[i][j]的值要小即可。其中i是1~n层循环，j也是1~n层循环。代码实现如下：
for (i = 1; i < n; i++)
for (j = 1; j < n; j++)
if( d[i][j] > d[i][1] + d[1][j] )
d[i][j] = d[i][1] + d[1][j]；在只允许经过1号节点的情况下，任意两点之间的最短路径更新为：
通过上图，我们可以发现：在只通过1号节点中转的情况下，有三对节点之间的最短路径都变短了，换句话说在遍历完k = 1之后，最短路径表更新为了如上图所示的当前状态。
接下来继续求在允许经过1号节点中转的情况下（在基于上表的情况下），若还允许经过2号节点中转，任意两点之间的最短路径。实际上当我们得到上表后，我们需要做的事只是重复上一步，再将1改为2而已。代码实现如下：
for (i = 1; i < n; i++)
for (j = 1; j < n; j++)
if( d[i][j] > d[i][2] + d[2][j] )
d[i][j] = d[i][2] + d[2][j]；将两步合并起来写，就是这样：
for (i = 1; i < n; i++)
for (j = 1; j < n; j++)
if( d[i][j] > d[i][1] + d[1][j] )
d[i][j] = d[i][1] + d[1][j]；
for (i = 1; i < n; i++)
for (j = 1; j < n; j++)
if( d[i][j] > d[i][2] + d[2][j] )
d[i][j] = d[i][2] + d[2][j]为了让代码看上去更简洁，我们可以写成这样（只允许经过1、2两个节点的最短路径）：
for (k = 1; i <= 2; k++)
for (i = 1; i < n; i++)
for (j = 1; j < n; j++)
if( d[i][j] > d[i][k] + d[k][j] )
d[i][j] = d[i][k] + d[k][j]怎么样？是不是看到了熟悉的5行代码？Floyd的思想就是这样：不断增加允许中转的中间点，并在此过程中更新最短路径表。
同样继续下去：在只允许经过1和2号节点的情况下，任意两点之间的最短路径更新为：
同理，继续增加中转点3，在只允许1、2和3号节点进行中转的情况下，求任意两点之间的最短路程，在执行完后最短路径表更新为：
最后允许所有顶点作中转，任意两点之间最终的最短路程为：
整个算法过程虽然说起来麻烦，但核心代码实现只有5行：
就是文章开头那5行
基本思想
整个代码的基本思想就是：最开始只允许经过1号顶点中转，接下来只允许经过1号和2号节点进行中转…最后允许经过1~n号所有节点进行中转，求任意两点之间的最短路程。用一句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号节点的最短路程。也就是我在前文中提到的不断增加允许中转的中间点，并在此过程中更新最短路径表。这就是一种“动态规划”的思想。
需要注意
需要注意的一点是：我们应该如何表示两个点之间无穷远。在上文中我用的是99999来表示正无穷，其实我们通常将正无穷定义为99999999，因为这样即使两个正无穷相加，其和仍然不超过int类型的范围（C语言int类型可以存储的最大正整数是2147483647）。在实际应用中最好估计一下最短路径的上限，只需要设置比它大一点既可以。例如有100条边，每条边不超过100的话，只需将正无穷设置为10001即可。
另外一点需要注意的是，Floyd算法不能解决带有“负权回路”的图，因为带有“负权回路”的图没有最短路。例如下面这个图就不存在1号顶点到3号顶点的最短路径。因为1->2->3->1->2->3->…->1->2->3这样路径中，每绕一次1->-2>3这样的环，最短路就会减少1，永远找不到最短路。其实如果一个图中带有“负权回路”那么这个图则没有最短路。
