python 极大线性无关组 极大线性无关组的个数

\\数乘*可省，矩乘*不可省

矩阵

\(A_{m*n}=\lgroup a_{ij} \rgroup_{m*n}\)

属性

• 秩：\(r(A_{m*n})=\max\limits_{i=0}^n\{m|det(B_m=\lgroup a_{ij} \rgroup_m) \neq 0\}\)

• \(r(A_{m*n}) \leq \min\{m,n\}\)
• \(r(A^T)=r(A)\)
• \(r(kA)=r(A)\)
• \(r(A)\) 为 \(A\) 中非零子式最大阶数

• \(A\) 中不存在 \(x\) 阶非零子式 \(\Rightarrow r(A)<x\)
• \(A\) 中存在 \(x\) 阶非零子式 \(\Rightarrow r(A) \geq x\)

• \[ r(A^*)=\begin{cases} \]

1,r(A)=n-1(AA^*=|A|E=0)\\
0,r(A)<n-1(秩的定义)(最大的非零子式阶数)\\
\end{cases}

\[\]

• 矩阵初等行变换前后列向量组中的向量之间线性组合关系不变

• 列向量组：\(\{\vec\beta_i\}_n (A_{m*n}=\lgroup \vec\beta_j \rgroup_n,\vec\beta_j=(a_{ij})_m^T)\)
• 行秩：矩阵行向量组的秩(=矩阵的秩)
• 列秩：矩阵列向量组的秩(=矩阵的秩)
• 特征值：\(|A-\lambda E|=0\) 的解(重数：方程 \(n\) 个可重解中 \(\lambda\) 的出现次数)

• 设 \(\{\lambda_i\}_n\) 为 \(A\) 的特征多项式的解集：(来自 \(|A-\lambda E|=\prod\limits_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i)\) )

1. \(\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i=|A|\) ( 取 \(\lambda=0\)
2. \(\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}\) (\(\lambda^{n-1}\)

• \(|A|=0 \Leftrightarrow 0\) 是 \(A\)
• \(A\) 和 \(A^T\) 的特征值相同（\(A\) 和 \(A^T\)
• \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^m a_ix^i\):\(\lambda\) 是 \(A\) 的特征值 \(\Rightarrow f(\lambda)\) 是 \(f(A)\) 的特征值
  (证明 \(A^k\vec\alpha=\lambda^k\vec\alpha \Rightarrow\) 证明 \(f(A)\vec\alpha=f(\lambda)\vec\alpha \Rightarrow f(\lambda)\) 是 \(f(A)\)
• \(A\) 可逆：\(\lambda\) 是 \(A\) 的特征值 \(\Rightarrow \lambda^{-1}\) 是 \(A^{-1}\) 的特征值\((A^{-1}A\vec\alpha\lambda^{-1}=A^{-1}\lambda\vec\alpha\lambda^{-1}\))
• \(f(A)=O \Rightarrow \forall\ \lambda_i\) 是 \(A\) 的特征值，\(f(\lambda_i)=0\)
• \(|f(A)|=\prod\limits_{i=1}^n f(\lambda_i)\)
• 常见矩阵特征值：

• \(A=O \Rightarrow \lambda_i=0\)
• \(A=E \Rightarrow \lambda_i=1\)
• \(A=\{1\}_n \Rightarrow \lambda_i=0(i<n),\lambda_n=n\ (A^2=nA)\)

• 特征向量：\((A-\lambda E)\vec\alpha=\vec 0\) 的解

• 不同特征值对应的特征向量线性无关 \((A\vec\alpha_1=\lambda_1\vec\alpha_1,A\vec\alpha_2=\lambda_1\vec\alpha_2,\lambda_1 \neq \lambda_2 \Rightarrow \vec\alpha_1 \nparallel \alpha_2)\)

• 不同特征值对应的线性无关的特征向量组成的向量组线性无关

• \(A\vec\alpha=\lambda\vec\alpha\) 解空间维数 \(\leq \lambda\) 对于 \(A\)

• 特征方程：\(|A-\lambda E|=0\)
• 特征多项式：\(|A-\lambda E|\)
• 迹：\(tr A=\sum\limits\limits_{i=1}^n a_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\)

运算

• 加法：\(A_{m*n}+B_{m*n}= \lgroup a_{ij}+b_{ij} \rgroup _{m*n}\)

• 交换律：\(A+B=B+A\)
• 结合律：\(A+(B+C)=(A+B)+C\)
• 单位元：\(O\) (\(A+O=O+A=A\))
• 消去律：\(A+C=B+C \Leftrightarrow A=B\)

• 数乘：\(kA_{m*n}=\lgroup ka_{ij} \rgroup _{m*n}\)

• 结合律：\((kl)A=k(lA)=l(kA)\)]
• 分配律：\((k+l)A=kA+lA\ ,k(A+B)=kA+kB\)

• 矩乘：\(A_{m*p}*B_{p*n}=\lgroup \sum\limits_{k=1}^{p} a_{ik}*b_{kj}\rgroup _{m*n}\)

• 结合律：\(A*(B*C)=(A*B)*C\)
• 分配律：\(A*(B+C)=A*C+B*C\)
• 交叉结合律：\(k(A*B)=(kA)*B=A*(kB)\)
• 单位元：\(E\) (\(A_{m*n}*E_n=E_m*A_{m*n}=A_{m*n}\))

• 伴随：\({A_n}^*=\lgroup A_{ij} \rgroup _n\ ,\) 其中 \(A_{ij}\) 表示 \(a_{ij}\) 的代数余子式

• \(AA^*=|A|E\)
• \(|A^*|=|A|\)
• \((kA)^*=k^{n-1}A^*\)
• \((A^*)^*=|A|^{n-2}A\)

• 求逆：\(A^{-1}= \frac {A^*}{|A|}\ ,|A| \neq 0(A^{-1}A=E)\)

• \(AA^{-1}=E(if\ AC=E, C=EC=A^{-1}AC=A^{-1})\)
• \((A^{-1})^{-1}=A\)
• \((kA)^{-1}=\frac1k A^{-1}\)
• \(A\) 可逆 \(\Rightarrow\) \(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)
• \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
• \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)（ \(A,B\)
• \(AP=BP \Leftrightarrow A=B\) ，\(PA=PB \Leftrightarrow A=B\)（ \(P\)可逆 ）
• \((A^{-1})^*=\frac A{|A|}\)
• \((A^*)^{-1}=|A|^{n-1}A=|A|^n(A^{-1})^*\)

• 方幂：$$A^n=\begin{cases}
  \prod\limits {i=1}^n A & n \in Z+\
  E & n=0\
  \prod\limits_{i=1}^{-n} A^{-1} & n \in Z_-\
  \end{cases}$$

• 结合律：\(A^k*A^l=A^{k+l}\)
• 嵌套律：\((A^k)^l=A^{kl}\)

• 转置：\({A_{m*n}}^T=\lgroup a_{ji} \rgroup _{m*n}\)

• 反身性：\((A^T)^T=A\)
• 分配律（加法）：\((A+B)^T=A^T+B^T\)
• 分配律（矩乘）：\((A*B)^T=B^T*A^T\)
• 交叉结合律（数乘）：\(k(A^T)=kA^T\)

• 行列式：\(|A_{m*n}|=det(A_{m*n})=|a_{ij}|_{m*n}=\sum\limits_{p_1p_2...p_n}(-1)^{\tau(p_1p_2...p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\)（Crammer法则）

• 等价律（转置）：\(|A^T|=|A|\)
• 结合律（数乘）：\(|kA|=k^n|A|\)
• 分配律（矩乘）：\(|A*B|=|A|*|B|\)

• 初等变换：

• 初等变换前后秩不变
• 对应初等矩阵：

• 初等行变换：（左乘）

• 对换变换 \((r_a \leftrightarrow r_b)\)：\(P_{ab}\)
• 数乘变换 \((kr_a)\)：\(D_a(k)\)
• 倍加变换 \((r_a+kr_b)\)：\(T_{ba}(k)\)

• 初等列变换：（右乘）

• 对换变换 \((c_a \leftrightarrow c_b)\)：\(P_{ab}\)
• 数乘变换 \((kc_a)\)：\(D_{a}(k)\)
• 倍加变换 \((c_a+kc_b)\)：\(T_{ab}(k)\)

关系

• 可交换：\(AB=BA\)

• \(E\)
• \(A\) 和 \(A^{-1}\)
• \(A\) 对称：\(A\) 和 \(A^T\)

• 等价：\(A_{m*n} \cong B_{m*n} \Leftrightarrow r(A_{m*n})=r(B_{m*n})\)

• 反身性：\(A \cong A\)
• 对称性：\(A \cong B \Leftrightarrow B \cong A\)
• 传递性：\(A \cong B,B \cong C \Rightarrow A \cong C\)

• 相似： \(A_n \sim B_n \Leftrightarrow \exists\ P,A_n=P^{-1}B_nP\)（特殊的等价）

• 等价关系基本性质（反身性、对称性、传递性）
• \(A \sim B \Rightarrow A\) 和 \(B\)
• \(A \sim B \Rightarrow |A|=|B|\)
• \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^m a_i x^i:A \sim B \Rightarrow f(A) \sim f(B)\)（来自 \(B^k=(P^{-1}AP)^k=P^{-1}A^kP \Rightarrow A^k \sim B^k\)
• \(A,B\) 可逆：\(A \sim B \Rightarrow A^{-1} \sim B^{-1}(A^{-1}APB^{-1}=A^{-1}PBB^{-1})\)
• \(A,P\) 可交换 \(\Leftrightarrow B,P\) 可交换 \(\Leftrightarrow A=B\)

• 合同：\(\exists\ P,B=P^TAP \Leftrightarrow A \simeq B \Leftrightarrow r(A)=r(B),p(A)=p(B)\)

• 等价关系基本性质
• \(A \simeq B \Rightarrow A \cong B\)

• 正交相似：\(A \sim B\ \land P\) 为正交阵

• \(A \simeq B\)
• 相似关系基本性质
• 合同关系基本性质

特殊矩阵

• 对角阵：\(A_n=diag(a_i)_n=\lgroup a_{ij} \rgroup_n(a_{ij}=[i=j]k_{ij},k_{ij} \in R)\)
• 分块矩阵：

• 加法：\(A_{m*n}+B_{m*n}=\lgroup A_{ij}+B_{ij} \rgroup_{m*n}\)
• 数乘：\(kA_{m*n}=\lgroup kA_{ij} \rgroup_{m*n}\)
• 转置：\((A_{m*n})^T=\lgroup A_{ji}^T \rgroup_{n*m}\)
• 矩乘：\(A_{m*p}*B_{p*n}=\big\lgroup \sum\limits\limits_{k=1}^pA_{ip}*B_{pj} \big\rgroup_{m*n}\)
• 求逆（对角分块矩阵）：\((A_n)^{-1}=diag((A_i)^{-1})_n\)

• 正交阵：满足 \(A^TA=E\) 的实方阵(正交变换：线性变换 \(\vec y=A\vec x\) ，其中 \(A\) 为正交阵)

• \(A^T=A^{-1}\) \(\Leftrightarrow A\)
• \(AA^T=E\) \((A^T=A^{-1} \Rightarrow AA^{-1}=AA^T=E)\)
• \(A^T\) 为正交阵 \(\Leftrightarrow A\) 是正交阵 \((AA^T=E)\)
• \(A\) 的行列向量组均为 \(R^n\)
• \(|\det(A)|=1\ (\det(A^T)=\det(A))\)
• \(A,B\) 为正交阵 \(\Rightarrow AB\) 为正交阵 \(((AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TB=E)\)

• 对称阵：满足 \(A^T=A\) 的方阵

• \(A\)
• \(A\)
• \(A\) 可对角化，且 \(P\)

计算方法/常用结论

• \(\lgroup A\ \vdots\ E \rgroup \cong \lgroup E\ \vdots\ A^{-1} \rgroup\)(应用于矩阵求逆)
• \((A^{-1})^{-1}=A,(A^*)^*=|A|^{n-2}A,(A^{-1})^*=|A|^{-1}A,(A^*)^{-1}=|A|^{n-1}A\)
• 实对称阵对角化方法：求 \(\lambda_i\) 对应解空间的基并将其正交化，所有正交化的向量拼在一起即为 \(P\)

向量

\(\vec\alpha=(a_i)_n\)

属性

• 长度：\(\parallel \vec\alpha \parallel=\sqrt{(\vec\alpha,\vec\alpha)}\)

• 非负性：\(\parallel \vec\alpha \parallel \geq 0\)

• \(\parallel \vec\alpha \parallel =0 \Leftrightarrow \vec\alpha=\vec0\)

• 齐次性：\(\parallel k\vec\alpha \parallel=|k|\parallel \vec\alpha \parallel\)
• 三角不等式：\(\parallel \vec\alpha+\vec\beta \parallel \leq \parallel \vec\alpha \parallel+\parallel \vec\beta \parallel\)

运算

• 加法：\(\vec\alpha + \vec\beta=(a_i+b_i)_n\)

• 交换律：\(\vec\alpha + \vec\beta=\vec\beta + \vec\alpha\)
• 结合律：\((\vec\alpha + \vec\beta) + \vec\gamma = \vec\alpha + (\vec\beta + \vec\gamma)\)
• 单位元：\(\vec 0(\vec\alpha+\vec 0=\vec 0+\vec\alpha=\vec\alpha)\)

• 减法：\(\vec\alpha + \vec\beta=\vec\alpha +(-\vec\beta)\)
• 数乘：\(k\vec\alpha=(ka_i)_n\)

• 结合律：\(k(l\vec\alpha)=(kl)\vec\alpha\)
• 分配律：\(k(\vec\alpha +\vec\beta)=k\vec\alpha+k\vec\beta\)

• 内积：\((\vec\alpha,\vec\beta)=\vec\alpha^T\vec\beta=\sum\limits\limits_{i=1}^na_ib_i\)

• 对称性：\((\vec\alpha,\vec\beta)=(\vec\beta,\vec\alpha)\)
• 线性性：

• \((\vec\alpha+\vec\beta,\vec\gamma)=(\vec\alpha,\vec\gamma)+(\vec\beta,\vec\gamma)\)
• \((k\vec\alpha,\vec\beta)=k(\vec\alpha,\vec\beta)\)

• 正定性：\((\vec\alpha,\vec\alpha) \geq 0\)

• \((\vec\alpha,\vec\alpha)=0 \Leftrightarrow \vec\alpha=\vec 0\)

• 柯西·施瓦茨不等式：\((\vec\alpha,\vec\beta)^2 \leq (\vec\alpha,\vec\alpha)(\vec\beta,\vec\beta)\)

• 夹角：\(\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle={(\vec\alpha,\vec\beta) \over \parallel \vec\alpha \parallel \parallel \vec\beta \parallel}(\parallel \vec\alpha \parallel \parallel \vec\beta \parallel \neq 0)\)
• 生成空间：\(V=\{\lambda\vec\alpha+\mu\vec\beta|\lambda,\mu \in R\}\)
• 共轭向量：\(\bar{\vec x}=(\bar{x_i})_n\)

关系

• 正交：\(\vec\alpha \bot \vec\beta \Leftarrow \theta=\frac{\pi}2\)

特殊向量

• 单位向量：\(\vec{\varepsilon_i}=(a_j)_n\) ，其中 \(a_j=[j=i]\)

• 单位化：\(\vec\varepsilon={\vec\alpha \over \parallel \vec\alpha \parallel}\)

向量组

\(R=\{\vec\alpha_i\}_m\) 或 \(R:\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,...,\vec\alpha_m\)

属性

• 线性相关：\(\exists\ \vec k=\lgroup k_i \rgroup_m^T,\lgroup \vec\alpha_i \rgroup_m \vec k=\vec 0\)

• \(\{\vec\beta_i\}_{i=1}^r \subseteq \{\vec\alpha_i\}_{i=1}^m\ ,\{\vec\beta_i\}_{i=1}^r\) 线性相关 \(\Rightarrow \{\vec\alpha_i\}_m\)
• \(\vec 0 \in \{\vec\alpha_i\}_m \Rightarrow \{\vec\alpha_i\}_m\)
• \(R=\{\vec\alpha_i\}_m\ ,S=\{\vec\beta_i\}_m:\vec\alpha_i=(a_{ji})_n\ ,\vec\beta_i=(a_{p_ji})_n\ ,p_1p_2 \dots p_n\) 是 \(1 \sim n\) 的一个排列 \(\Rightarrow R\ ,S\)
• \(R=\{\vec\alpha_i\}_m\ ,S=\{\vec\beta_i\}_m:\vec\alpha_i=(a_{ji})_r\ ,\vec\beta_i=(a_{ji})_{r+1},S\) 线性相关 \(\Rightarrow R\) 线性相关

• \(R=\{\vec\alpha_i\}_m\ ,S=\{\vec\beta_i\}_m:\vec\alpha_i=(a_{ji})_r\ ,\vec\beta_i=(a_{ji})_{r+1},R\) 线性无关 \(\Rightarrow S\)

• \(\{\vec\alpha_i\}_n\) 线性相关 \(\Leftrightarrow r(A=\lgroup \vec\alpha_i \rgroup_n)<n\)
  \(\{\vec\alpha_i\}_n\) 线性无关 \(\Leftrightarrow r(A=\lgroup \vec\alpha_i \rgroup_n)=n\)

• \(n\) 个 \(n\) 维向量线性无关 \(\Leftrightarrow\) 它们组成的矩阵行列式不为 \(0\)
• \(m>n:m\) 个 \(n\)

• 极大无关组：\(R \subseteq \{\vec\alpha_i\}_m,R\) 线性无关，\(\forall\ \vec\beta \in \{\vec\alpha_i\}_m-R,R \cup \{\vec\beta\}\) 线性相关

• \(R \cong (R\) 的极大无关组 \()\)
• \(R\)
• 
  

• 秩：\(r(R)=(R\) 的极大无关组的元素个数 \()\)

• \(R\) 可由 \(S\) 线性表出 \(\Rightarrow r(R) \leq r(S)\)

• \(R \cong S \Leftrightarrow r(R)=r(S)\)
• \(R \cong S,R\) 线性无关，\(S\) 线性无关 \(\Rightarrow R\) 和 \(S\)

运算

关系

• 线性组合：\(\vec\beta=\sum\limits_{i=1}^m k_i \vec{\alpha_i} \Rightarrow \vec\beta\) 是 \(\{\vec\alpha_i\}_m\)
• 线性表出：\(\{\vec\alpha_i\}_r\) 可由 \(\{\vec\beta_i\}_s\) 线性表出 \(\Leftrightarrow \exists\ K=\lgroup k_{ij} \rgroup_{s*r},\lgroup \vec\alpha_i \rgroup_r=\lgroup \vec\beta_i \rgroup_s K\)
• 等价：\(R \cong S \Leftrightarrow R\) 可由 \(S\) 线性表出，且 \(S\) 可由 \(R\) 线性表出

• 等价关系基本性质（反身性，对称性，传递性）

特殊向量组

• 向量空间：\(V\) 满足 \(\forall\ \vec\alpha,\vec\beta \in V,\ k,l \in R,k\vec\alpha+l\vec\beta \in V\)

• 零空间：\(O=\{\vec 0\}\)
• 子空间：\(R\) 满足 \(R \subseteq V\)
• 基：\(V\)
• 维度：\(\dim V=r(V)(\dim O=0)\)
• \(n\) 维向量空间：\(R^n\)
• 坐标：向量由基线性表出时的系数构成的有序数组

• 正交向量组：向量组内各向量两两正交的向量组 \(\small(\) 标准正交向量组/规范正交向量组：各元素均为单位向量的正交向量组,记为 \(\{\vec e_i\}_n \small)\)

• 正交向量组线性无关

计算方法/常用结论

• 施密特正交化方法：\(\{\vec\alpha_i\}_n\) 线性无关，\(\vec\beta_i=\vec\alpha_i-\sum\limits\limits_{j=1}^{i-1}{(\vec\alpha_i,\vec\beta_j) \over (\vec\beta_j,\vec\beta_j)}\vec\beta_j(i \in [1,n]) \Rightarrow \{\vec\beta_i\}_n\)

线性方程组

齐次线性方程组

• 解的存在性：

• \(|A| \neq 0\)：有唯一零解
• \(|A|=0\)：有无穷多解及无穷多基础解系(自由解个数 \(=dim\ S=n-r(A)\)

• 通解：\(\vec x=\sum\limits_{i=1}^{n-r(A)} k_i\vec x_i\) ，\(\{\vec x_i\}_{n-r(A)}\) 为 \(S\)

非齐次线性方程组

• 解的存在性：

• \(r(A) \neq r(B)\)
• \(r(A)=r(B)\)：

• \(r(A)=n\)：有唯一解
• \(r(A)<n\)：有无穷多解

• 通解：\(\vec x=\vec x_0+\vec x^*\) ，其中 \(\vec x_0\) 为 \(A\vec x=\vec b\) 的一个特解，\(\vec x^*\) 为 \(A\vec x=\vec 0\)
• 常见结论证明：

• \(AB=0 \Rightarrow B\) 的任一列向量为 \(Ax=0\) 解空间的向量 \(\Rightarrow r(B) \leq n-r(A) \Rightarrow r(A)+r(B) \leq n\)

二次型(二次齐次多项式)

\(f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j=\vec x^TA\vec x(a_{ij}=a_{ji})\)

属性

• 矩阵：\(A\)
• 秩：\(r(A)\)
• 标准形：\(A=diag(d_i)_n\)

• 任意实二次型均可通过正交变换变为标准型 \((\exists\ B,\vec y=B\vec x,f(x_1,x_2,...,x_n)=x^T A x=y^T \Lambda y=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i y_i^2)\)

• 规范形：\(A=diag(d_i)_n,d_i \in \{-1,1,0\}\)

• 惯性定理：规范形中 \(1\) 的个数由 \(A\)
• 正惯性指数：规范形中 \(1\) 的个数，记作 \(p(f)\)
• 负惯性指数：规范形中 \(-1\)
• 符号差=正惯性指数-负惯性指数

• 正定：\(f=\vec x^T A \vec x>0\) 的 \(f\)

• \(f\) 正定 \(\Leftrightarrow f\) 的 \(n\) 个系数全是正数 \(\Leftrightarrow p(f)=n \Leftrightarrow \lambda_i>0\)
• \(A\) 正定 \(\Leftrightarrow A \simeq E \Leftrightarrow A\) 的 \(n\) 个顺序主子式为正数 \(\Leftrightarrow p(A)=r(A)=n\)

• 半正定：\(f=\vec x^T A \vec x \geq 0\) 的 \(f\)

• \(A\) 半正定 \(\Leftrightarrow A\) 的 \(n\) 个顺序主子式非负 \(\Leftrightarrow p(A)=r(A) \leq n\)

• 负定：\(f=\vec x^T A \vec x < 0\) 的 \(f\)

• \(f\) 负定 \(\Leftrightarrow f\) 的 \(n\) 个系数全是负数 \(\Leftrightarrow \lambda_i>0\)
• \(A\) 负定 \(\Leftrightarrow A\) 的 \(n\) 个顺序主子式为负数 \(\Leftrightarrow p(A)=0,r(A)=n\)

• 半负定：\(f=\vec x^T A \vec x \leq 0\) 的 \(f\)

• \(f\) 半负定 \(\Leftrightarrow f\) 的 \(n\) 个系数全是非正数 \(\Leftrightarrow \lambda_i>0\)
• \(A\) 半负定 \(\Leftrightarrow A\) 的 \(n\) 个顺序主子式为正数 \(\Leftrightarrow p(A)=0,r(A) \leq n\)

计算方法

• 实二次型标准化：

1. 正交变换法(找使 \(A\) 对角化的 \(P\))
2. 配方法:

• 无平方项：找一组 \(x_ix_j(a_{ij} \neq 0),x_i=y_i+y_j,x_j=y_i-y_j,x_k=y_k(i,j \neq k),\)
• 有平方项：找一个平方项 \(x_i^2\) ，使 \(f=a_{ii}(x_i+\sum\limits_{j \neq i}{a_{ij} \over a_{ii}}x_j)^2+g\)，将 \(g\)

线性空间与线性变换

线性空间

• 对线性运算（加法、数乘）封闭
• 加法：

• 交换律（\(\vec\alpha+\vec\beta=\vec\beta\vec\alpha\)）
• 结合律（\(\vec\alpha+(\vec\beta+\vec\gamma)=(\vec\alpha+\vec\beta)+\vec\gamma\)）
• 存在零元素（\(\exists\vec 0 \in V,\vec\alpha+\vec 0=\vec\alpha\)）
• 存在负元素（\(\exists\vec\beta \in V,\vec\alpha+\vec\beta=\vec 0\)）

• 数乘：

• 1为单位元
• 结合律（\(\lambda(\mu\vec\alpha)=(\lambda\mu)\vec\alpha\)）
• 两个分配律（\((\lambda+\mu)\vec\alpha=\lambda\vec\alpha+\mu\vec\alpha,\lambda(\vec\alpha+\vec\beta)=\lambda\vec\alpha+\lambda\vec\beta\)）

线性变换

• \(f(\vec\alpha+\vec\beta)=f(\vec\alpha)+f(\vec\beta)\)
• \(f(\lambda\vec\alpha)=\lambda f(\vec\alpha)\)