1. 1.      缓和曲线的概念

缓和曲线是道路平面线形要素之一，它是设置在直线和圆曲线之间或半径相差较大的两个转向相同的圆曲线之间的一种曲率连续变化的曲线。相关规范规定，缓和曲线采用回旋线，其基本公式为：

                       

式中：

——回旋线上某点的曲率半径(m)；

——回旋线上某点到原点的曲线长(m)；

——回旋线参数。

在缓和曲线的终点处， ， ，则上式可写作：

 

则参数

 

其中：

——回旋线所连接的圆曲线半径(m)；

——回旋线型的缓和曲线长度(m)；

以ZH点为坐标原点，直线方向为坐标x轴，圆心所在方向为Y轴，建立如下图所示坐标系：

 

缓和曲线示意

则缓和曲线的参数方程可表达为：

 

其中 表示缓和曲线上相应点对应的曲线长度。

 

  1. 2.      已知ZH点的缓和曲线的实现

由缓和曲线的参数方程可知，在XOY平面内，缓和曲线上某点的X、Y坐标，均是其长度参数 的函数，因此可通过混合曲线的方式实现缓和曲线。流程如下：

1) 定义参数 和 ，分别表示缓和曲线长度和圆曲线半径值；

2) 以原点为第一点，Z轴正向做长度为的 直线；

3) 定义  法则和  法则；

4) 在ZOX平面内，利用法则1生成平行曲线 ；

5) 在YOZ平面内，利用法则2生成平行曲线 ；

6) 通过两个平行曲线生成混合曲线 ；

7) 将混合曲线向XOY平面内投影，投影曲线即为所求缓和曲线。

 

缓和曲线的CATIA实现

上述为已知HZ点、缓和曲线长度和圆曲线半径，建立缓和曲线的过程。由于缓和曲线的参数方程仅取展开级数公式的前两项，因此所得到的曲线与理论曲线存在一定的误差。以曲线长度为例，误差统计如下：

 

缓和曲线长度(m)

20

25

35

45

50

70

曲线半径
  （m）

60

0.3

0.8

4.5

15.9

27.0

143.8

80

0.1

0.3

1.4

5.1

8.6

46.1

100

0.0

0.1

0.6

2.1

3.5

19.0

150

0.0

0.0

0.1

0.4

0.7

3.8

200

 

 

0.0

0.1

0.2

1.2

300

 

 

 

 

0.0

0.2

500

 

 

 

 

0.0

0.0

缓和曲线长度与理论值偏差（mm）

  1. 3.      Z两条直线间的缓和曲线实现

在道路的平曲线设计时，往往仅知直线和转点，此时需根据圆曲线半径和缓和曲线长度求ZH点位置。首先应求得ZH点的位置，如下图所示：

 

平曲线要素示意

其中曲线的内移距p 和切线增长q如下式：

 

 

由上式则可计算缓和曲线段的切线长度。在CATIA软件中，可直接对相交直线倒圆弧，因此只需要计算切线增长q即可。

 

在平曲线上利用两根直线实现缓和曲线和圆曲线的过程如下：

1)       根据曲线要素计算HZ点；

2)       建立局部坐标系：HZ点为原点，直线1为X轴，两根直线的交点为X轴正向；水平面为Z轴，正向根据Y轴确定；Y轴正向位于直线2方向。

3)       根据曲线要素定义缓和曲线1，标注HY点；

4)       按照上述构成定义缓和曲线2；标注YH点；

5)       过HY点、YH点及圆曲线半径值做圆曲线；

 

实现的曲线