在OI与密码学等各个方面，我们经常会遇到需要判断素数的情况。这个问题看似简单，实则不然。判素就像是排序，只会快排是不能走遍天下的，想要成为一名神犇，就需要接触更多的算法。

　　在OI与密码学等各个方面，我们经常会遇到需要判断素数的情况。这个问题看似简单，实则不然。判素就像是排序，只会快排是不能走遍天下的，想要成为一名神犇，就需要接触更多的算法。

 

一:什么是素数

　　素数，也可以叫做质数。如果一个大于1的自然数，除去1和他本身，不能被其他数字整除，那么他就是一个素数。任何一个大于1的自然数，要么是素数，要么是可以写做一堆素数相乘。

 

二：素数的性质

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

（3）质数的个数是无限的。

（4）质数的个数公式f(n) 是不减函数。

（5）若n为正整数，在n2 到(n+1)2之间至少有一个质数。

（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到n! 之间至少有一个质数。

（7）若质数p为不超过n(n≥ 4)的最大质数，则p>n/2。

（8）如果P是素数，a是小于P的正整数，那么a^(p-1) mod p = 1（一会要用到，顺便吐槽博客编辑器真的好难用）。

  ……

 

三：判素方法

 

  I：埃拉托斯特尼筛法

的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。

　　这个办法的原理很好理解，它就是利用了素数的定义，把所有素数的倍数拆掉了。但有人看了后仍然会很疑惑，我们不知道那个是素数，为什么还要用素数来筛呢？而且为什么要用不大于√n的素数？要解释第一个问题，我们需要进入到算法的实现过程中去。

　　首先，2是一个素数，我们把2的倍数全部都去掉，然后往下找素数。怎么找呢？接下来第一个没被筛掉的数字3肯定是素数，这是为什么呢？因为一个合数的因数肯定比他本身要小（除去它本身），且一定可以写作比他小的质数的乘积形式，我们用3之前的素数2来进行筛，并没有筛掉3，也就是说3不能写作比他小的质数的乘积形式，那么3肯定是一个素数了。然后继续向下筛，碰到没筛掉的就认为它是素数，用它再来筛。

　　然后，我们要来解释第二个问题了。

　　用√n来作为界限，我们只是为了减少运算量，那么用比√n大的数字呢？当然可以；用比√n小的数字呢？当然不行。可是，为什么不行。(√n略丑，各位看官将就着看）

　　我们用最大的数字n来看，假定这个数可以写作1*n，2*n/2，3*N/3，.......，√n*√n。仔细看这一系列的式子，我们会发现，乘号左边的数字一直在变大，而右边的数字一直在变小，这个原因我想应该不用我去解释了。这个有规律的变化会一直持续的√n*√n，两边数字一样大了，如果再继续变化，又会重复原来的式子了。而比n小的数字x，他开方后也就更小，所以我们只需要求到√n就行了。当然，这个√n的小数部分是没有用的，我们应当将它向下取整。

 

伪代码

function Eratosthenes;
　　begin
　　 for i:=2 to sqrt(n) do
 　　 if i为素数 then
　　　　筛选
　　end；

 

 

　II.试除法

　　顾名思义，这个办法就是把比n小的数字统统除一遍，如果没有一个数字可以整除n，那么n就是一个素数了。当然这么变态的方法肯定只适用于，数字少加上数字小的情况。如果一台电脑1s可以计算10^9次，那么我们1S中最大可以判断一个10^18的数字，当然这是加了优化的。

　　什么优化呢？从筛法中，我已经说过了，判断质数判断到√n就可以了，这样时间复杂度瞬间小了啊。

　　如果这样你还嫌太慢，那么你就只能随机找几个比他小的数字试一试了，这样很容易把某些合数当成质数的。

伪代码

function sc;
    for i:=2 to sqrt(n) do
　　　　begin
　　　　f=true;
　　　　if n mod i=0 then
　　　　　　f=false            
　　　　if f then
　　　　　　n为质数
　　　　　　else
　　　　　　n为合数
　　　　end；

 

 

  III.费马素性检验

　　前面已经提到试除法只能适用于数字少加上数字小的情况，那么如果数字多加上数字大怎么办，那我们只能祭出恐怖的费马素性检验了。

　　费马素性检验基于费马小定理，即上面我提到的最后一条性质。我们先来证明一下。

的既约剩余系p={1,2,3,...,p-1}

，由引理3可得A = {a,2a,3a,...,(p-1)a}

　　也是p的一个既约剩余系。

　　由既约剩余系的性质，1x2x3x...x(p-1)≡a·2a·3a·...·(p-1)a (mod p)

　　即(p-1)! ≡ (p-1)!·ap-1(mod p)

，

　　同余式两边可约去(p-1)!，得到ap-1≡1 (mod p)

费马小定理，是不是很神奇呢。（以上内容来自百度百科）

　　这个定理的逆命题不是正确的哦，比如虽然2的340次方除以341余1，但341=11*31，我们将这些不是素数还满足2^(p-1) mod p = 1数字称之为伪素数，实际上这类数字并不多。

　　不满足一定是合数，满足可能是素数，这样我们制作一张伪素数表就可以了。那么有多少伪素数呢，已知在十亿以内一共有50847534个素数，而伪素数有5594个，判断出错可能性为0.00011，也许我们需要改进一下算法。

　　我们把a换成3再重新试一试，某些伪素数满足2^(p-1) mod p = 1，但不满足3^(p-1) mod p = 1。到这里发生了一些小问题，满足2^(p-1) mod p = 1的叫做伪素数，满足3^(p-1) mod p = 1的难道就不是了么？当然是，我们把伪素数的定义改一下，把满足a^(p-1) mod p = 1的伪素数称为以a为底的伪素数。十亿以内同时满足2^(p-1) mod p = 1和3^(p-1) mod p = 1的数字只有1272个，是不是突然就少了好多。然后我们发现，测试越多越好，那我们就随便抽出几个来测试一下吧，测试越多，出错几率越小。

　　那么我们把所有小于n的a都测试一遍，肯定能排除伪素数了吧。╮(╯▽╰)╭，你还真别这么想，Robert Daniel Carmichael在1910年找到了这么一个数，而且这个数连1000都不到，他只有561这么大，而且十亿中有600个这样的数，天哪。

 

　IV.Miller Rabin算法

　　我先介绍一下Miller Rabin这个人，哦不，这两个人。Gary Lee Miller是卡内基梅斯大学的计算机系教授，他首先针对判素提出了基于广义黎曼猜想的确定性算法,可是广义黎曼猜想并没有被证明过，于是没有人可以证明他的办法是正确的。后来在耶路撒冷希伯来大学，出现了一名名曰Micheal O. Rabin的教授，在75年，对这种办法做出修改，使其不再基于广义黎曼猜想，实际上，Dr. Rabin早在53年就已经拿到了图灵奖。

　　该算法基于以下定理：如果p是素数，x是小于p的正整数，且x^2 mod p = 1，那么要么x=1，要么x=p-1。（二次试探定理）

　　这个真心是好证到爆的，我就不证明了，各位看官自己想想吧。

　　然后我们需要把这个东西加到fermat里，把它俩搅拌成同一个东西。

　　搅拌的过程十分简单，只需要在原算法里加入这个二次试探定理就好了，在测试a^(p-1) mod p = 1的同时，我们还要测试a^2 mod p是否等于1，这个小优化多耗费的时间极少，而取得的效果却极大。

　　实际上只用fermat小定理就可以叫做Miller Rabin算法了，但是我们还是更习惯于把两个东西搅拌在一起。